Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

Integrais de Linhas – Caso Vetorial

Calcule

∫ C P d x + Q d y + R d z

Onde F → = y , z , x e C é a interseção das superfícies x + y = 2 e x 2 + y 2 + z 2 = 2 x + y , percorrida no senti anti-horário quando vista da origem.

Passo 1

Precisamos conseguir parametrizar a curva C , primeiro vamos achar a interseção entre as duas superfícies, fazendo

y = 2 - x

Substituindo na equação da esfera

x 2 + 2 - x 2 + z 2 = 2 x + 2 - x

x 2 + 4 - 4 x + x 2 + z 2 = 2 2

2 x 2 - 4 x + z 2 = 0

Vamos completar quadrados agora

2 x 2 - 4 x + 2 + z 2 = 2

2 x 2 - 2 x + 1 + z 2 = 2

2 x - 1 2 + z 2 = 2

x - 1 2 1 + z 2 2 = 1

Isso é uma elipse, vamos parametrizar essa elipse, vamos ter

x = 1 + 1 cos ⁡ θ

z = 2 sen ⁡ θ

Com θ ∈ 0,2 π

Falta a componente y , mas temos uma relação entre y e x

x + y = 2

Então

y = 2 - 1 + cos ⁡ θ

y = 1 - cos ⁡ θ

Vamos ter

σ θ = 1 + cos ⁡ θ , 1 - cos ⁡ θ , 2 sen ⁡ θ

Com θ ∈ 0,2 π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora calculamos σ ' θ

σ ' t = ∂ ∂ θ 1 + cos ⁡ θ , ∂ ∂ θ 1 - cos ⁡ θ , ∂ ∂ θ 2 sen ⁡ θ = - sen ⁡ θ , sen ⁡ θ , 2 cos ⁡ θ

Passo 3

Uma coisa que temos que ficar atentos na integral de linha é o sentido do cara, ele disse que o sentido é anti-horário quando visto da origem, isso quer dizer que, para o nosso sentido “normal”, ele roda ao contrário do visto pela origem, ou seja, neste caso vai ser no sentido horário, tudo que temos feito até agora foi rodando tudo no sentido horário, para mudar isso basta colocar o sinal de menos na resolução da integral

Vamos, então, substituir σ θ e σ ' θ na integral.

- ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ θ , 2 sen ⁡ θ , 1 + cos ⁡ θ ∙ - sen ⁡ θ , sen ⁡ θ , 2 cos ⁡ θ d θ

= - ∫ 0 2 π - sen ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 sen 2 ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ + 2 cos 2 ⁡ θ d θ

= - ∫ 0 2 π - sen ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ + 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ

= - ∫ 0 2 π - sen ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ + 2 d θ

Lembrando que

sen ⁡ θ cos ⁡ θ = sen ⁡ 2 θ 2

A integral vai ficar

= - ∫ 0 2 π - sen ⁡ θ + sen ⁡ 2 θ 2 + 2 cos ⁡ θ + 2 d θ

= - cos ⁡ θ - cos ⁡ 2 θ 4 + 2 sen ⁡ θ + 2 θ θ = 0 2 π

= - cos ⁡ 2 π - cos ⁡ 2 ∙ 2 π 4 + 2 sen ⁡ 2 π + 2 ∙ 2 π - cos ⁡ 0 - cos ⁡ 2 ∙ 0 4 + 2 sen ⁡ 0 + 2 ∙ 0

= - 1 - cos ⁡ 4 π 4 + 0 + 2 ∙ 2 π - 1 - cos ⁡ 0 4 + 0 + 0

= - 1 - 1 4 + 2 2 π - 1 - 1 4 +

= 2 2 π

Resposta

2 2 π

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