Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

Integrais de linha – caso vetorial

Seja γ a curva dada pela intersecção do paraboloide z = x 2 + y 2 com o cilindro x 2 + y 2 = 6 , orientade de modo que sua projeção no plano x y seja percorrida uma ver no sentido anti-horário. Calcule ∫ γ   F → . d r → no seguinte caso:

F → x , y , z = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , sen ⁡ z 8 + z 4  

Passo 1

A integral de linha aqui é vetorial então precisamos descobrir como parametrizar a interseção entre o paraboloide e o cilindro. Vamos começar descobrindo a interseção entre o paraboloide e o cilindro, repara que temos

x 2 + y 2 = 6

Então

z = x 2 + y 2 = 6

Logo a interseção é a curva

x 2 + y 2 = 6

Com

z = 6

Podemos parametrizar essa circunferência de boa, vai ficar

σ t = 6 cos ⁡ t , 6 sen ⁡ t , 6

Com t ∈ 0,2 π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora queremos a derivada desse cara

σ ' t = - 6 sen ⁡ t , 6 cos ⁡ t , 0

Vamos para a integral

Passo 3

A integral vai ficar

∫ γ   F → . d r → = ∫ 0 2 π F → σ t . σ ' t d t

⇒ ∫ 0 2 π - 6 sen ⁡ t 6 cos ⁡ t 2 + 6 sen ⁡ t 2 , 6 cos ⁡ t 6 cos ⁡ t 2 + 6 sen ⁡ t 2 , sen ⁡ 6 8 + 6 4   ∙ - 6 sen ⁡ t , 6 cos ⁡ t , 0 d t

⇒ ∫ 0 2 π 6 sen ⁡ t 6 sen ⁡ t 6 cos ⁡ t 2 + 6 sen ⁡ t 2 + 6 cos ⁡ t 6 cos ⁡ t 6 cos ⁡ t 2 + 6 sen ⁡ t 2 d t

⇒ ∫ 0 2 π 6 sen 2 ⁡ t 6 cos 2 ⁡ t + 6 sen 2 ⁡ t + 6 cos 2 ⁡ t 6 cos 2 ⁡ t + 6 sen 2 ⁡ t d t

⇒ ∫ 0 2 π 6 sen 2 ⁡ t 6 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t + 6 cos 2 ⁡ t 6 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t d t

⇒ ∫ 0 2 π 6 sen 2 ⁡ t 6 + 6 cos 2 ⁡ t 6 d t

⇒ ∫ 0 2 π sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t

⇒ ∫ 0 2 π 1 d t

⇒ 2 π

Resposta

2 π

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