Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

UFF - Cálculo IIIA - Lista 4 - 6

Seja C a interseção do cilindro x 2 + y 2 = 4 com o semiplano y + z = 0 , y ≥ 0 , percorrida de modo que sua projeção no plano x y tenha sentido anti-horário e seja F → x , y , z = x 4 i → + y 4 j → + z 4 k → . Calcule a integral

∫ C F → ∙ d r →

Passo 1

Na teoria vimos que a integral de linha é dada por:

∫ C F → . d r =   ∫ a b F x t ,   y t , z t . σ → ' t   d t

O campo foi dado no enunciado F → x , y , z = x 4 i → + y 4 j → + z 4 k → ,   só fica faltando a parametrização da curva. Então vamos atrás dela!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Precisamos conseguir parametrizar a curva C . Podemos parametrizar o cilindro direto

x 2 + y 2 = 4

Vamos ter

x = 2 cos ⁡ θ

y = 2 sen ⁡ θ

Ele disse que y > 0 isso nos diz que

2 sen ⁡ θ > 0

sen ⁡ θ > 0

Então

θ ∈ 0 , π

Falta a componente z , mas temos uma relação entre y e z

z + y = 0

Então

z = - 2 sen ⁡ θ

z = - 2 sen ⁡ θ

Vamos ter

σ θ = 2 cos ⁡ θ , 2 sen ⁡ θ , - 2 sen ⁡ θ

Com θ ∈ 0 , π

Passo 3

Agora calculamos σ ' θ

σ ' t = ∂ ∂ θ 2 cos ⁡ θ , ∂ ∂ θ 2 sen ⁡ θ , ∂ ∂ θ - 2 sen ⁡ θ = - 2 sen ⁡ θ , 2 cos ⁡ θ , - 2 cos ⁡ θ

Passo 4

Uma coisa que temos que ficar atentos na integral de linha é o sentido da curva. Ele disse que o sentido é anti-horário da projeção no plano x y , isso já é a orientação normal que temos, e estamos rodando no sentido anti-horário.

Vamos, então, substituir σ θ e σ ' θ na integral.

∫ 0 π 2 cos ⁡ θ 4 , 2 sen ⁡ θ 4 , - 2 sen ⁡ θ 4 ∙ - 2 sen ⁡ θ , 2 cos ⁡ θ , - 2 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 0 π 16 cos 4 ⁡ θ , 16 sen 4 ⁡ θ , 16 sen 4 ⁡ θ ∙ - 2 sen ⁡ θ , 2 cos ⁡ θ , - 2 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 0 π - 32 cos 4 ⁡ θ sen ⁡ θ + 32 sen 4 ⁡ θ cos ⁡ θ - 32 sen 4 ⁡ θ cos ⁡ θ ⏟ 0 d θ

= - ∫ 0 π 32 cos 4 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

= - 32 ∫ 0 π cos 4 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

Vamos resolver essa integral separada

Passo 5

∫ cos 4 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

Vamos fazer

u = cos ⁡ θ

Então

d u = - sen ⁡ θ d θ

A integral vai ficar

∫ cos 4 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ = - ∫ u 4 d u

Resolvendo a integral vamos ter

- ∫ u 4 d u = - u 5 5

Voltando para θ

- u 5 5 = - cos 5 ⁡ θ 5

∫ cos 4 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ = - cos 5 ⁡ θ 5

Passo 6

Voltando para nossa integral

= - 32 ∫ 0 π cos 4 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

Vamos ter

= - 32 - cos 5 ⁡ θ 5 θ = 0 π = 32 cos 5 ⁡ θ 5 θ = 0 π

= 32 cos 5 ⁡ π 5 - cos 5 ⁡ 0 5

= 32 - 1 5 5 - 1 5 5

= 32 - 1 5 - 1 5

= 32 - 2 5

= - 64 5

Resposta

- 64 5

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