Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

Seja C a interseção do cilindro x 2 + y 2 = 4 com o semiplano y + z = 0 , y ≥ 0 , percorrida de modo que sua projeção no plano x y tenha sentido anti-horário e seja F → x , y , z = x 4 i → + y 4 j → + z 4 k → . Calcule a integral

∫ C F → ∙ d r →

Passo 1

Bem, sempre resolvemos uma integral de linha seguindo alguns passinhos lindo:

  1. Parametrizar a curva C que estamos trabalhando
  2. Substituir os termos do campo vetorial F → x ,   y pelos termos da parametrização
  3. Encontrar o termo d r →

Então vem comigo nessa aventura! :D

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Passo 2

Precisamos conseguir parametrizar a curva C , Mas quem é mesmo essa curva?

Se desenharmos no espaço esse cilindro x 2 + y 2 = 4

cortado pelo semi plano y + z = 0 ...

Eis a nossa curva onde o y ≥ 0 :

Como estamos em um cilindro, podemos parametrizar o cilindro direto

x 2 + y 2 = 4

Vamos ter

x = 2 cos ⁡ θ

y = 2 sen ⁡ θ

Ele disse que y > 0 isso nos diz que

2 sen ⁡ θ > 0

sen ⁡ θ > 0

Então

θ ∈ 0 , π

Falta a componente z , mas temos uma relação entre y e z

z + y = 0

Então

z = - 2 sen ⁡ θ

z = - 2 sen ⁡ θ

Vamos ter

σ θ = 2 cos ⁡ θ , 2 sen ⁡ θ , - 2 sen ⁡ θ

Como estamos saindo do eixo x e dando uma meia volta:

Então:

θ ∈ 0 , π

Passo 3

Pow, nos falta encontrar d r → , porém

d r → = σ ' θ d θ

Agora calculamos σ ' θ

σ ' θ = ∂ ∂ θ 2 cos ⁡ θ , ∂ ∂ θ 2 sen ⁡ θ , ∂ ∂ θ - 2 sen ⁡ θ = - 2 sen ⁡ θ , 2 cos ⁡ θ , - 2 cos ⁡ θ

logo

d r → = - 2 sen ⁡ θ , 2 cos ⁡ θ , - 2 cos ⁡ θ d θ

Uma coisa que temos que ficar atentos na integral de linha é o sentido do cara!

Ele disse que o sentido é anti-horário da projeção no plano x y , isso já é a orientação normal que temos, e estamos rodando no sentido anti-horário. Se não tivéssemos, bastava trocar o sinal desse vetor, sacou?

Passo 4

Vamos, então, substituir todos os ingredientes até aqui encontrados na integral.

∫ 0 π 2 cos ⁡ θ 4 , 2 sen ⁡ θ 4 , - 2 sen ⁡ θ 4 ∙ - 2 sen ⁡ θ , 2 cos ⁡ θ , - 2 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 0 π 16 cos 4 ⁡ θ , 16 sen 4 ⁡ θ , 16 sen 4 ⁡ θ ∙ - 2 sen ⁡ θ , 2 cos ⁡ θ , - 2 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 0 π - 32 cos 4 �� θ sen ⁡ θ + 32 sen 4 ⁡ θ cos ⁡ θ - 32 sen 4 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

= ∫ 0 π - 32 cos 4 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

= - 32 ∫ 0 π cos 4 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

Vamos resolver essa integral separada

Passo 5

∫ cos 4 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

Vamos fazer

u = cos ⁡ θ

Então

d u = - sen ⁡ θ d θ

A integral vai ficar

∫ cos 4 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ = - ∫ u 4 d u

Resolvendo a integral vamos ter

- ∫ u 4 d u = - u 5 5

Voltando para θ

- u 5 5 = - cos 5 ⁡ θ 5

Passo 6

Voltando para nossa integral

= - 32 ∫ 0 π cos 4 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

Vamos ter

= - 32 - cos 5 ⁡ θ 5 θ = 0 π

= - 32 - cos 5 ⁡ π 5 - - cos 5 ⁡ 0 5

= - 32 - - 1 5 5 - - 1 5 5

= - 32 - - 1 5 - - 1 5

= - 32 1 5 + 1 5

= - 32 2 5

= - 64 5

Resposta

- 64 5

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