Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

Integrais de linha – caso vetorial

O movimento de uma partícula de massa unitária no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ π / 2 é descrito pela curva parametrizada r t = cos ⁡ 2 t ,   s e n   2 t , 2 π t .

c) Calcule o trabalho realizado pela força F x , y , z = - 4 x , - 4 y , 0 atuando sobre a partícula entre os instantes t = 0 e t = π / 2 .

Passo 1

O trabalho realizado pela força F ao longo da trajetória r ( t ) é dado por:

W = ∫ r   F . d r = ∫ 0 π / 2 F r t . r ' t d t

Escrevendo o campo nas variáveis da parametrização da curva:

F r t = - 4 cos ⁡ 2 t , - 4 s e n   2 t , 0

Substituindo na integral

W = ∫ 0 π / 2 - 4 cos ⁡ 2 t , - 4 s e n   2 t , 0 . - 2   s e n   2 t ,   2 cos ⁡ 2 t , 2 π d t

= ∫ 0 π / 2 8   s e n   2 t cos ⁡ 2 t - 8   s e n   2 t cos ⁡ 2 t d t =

= ∫ 0 π / 2 0 d t =

= 0

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Resposta

W = 0

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