Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

George B. Thomas, Cálculo – volume 2, 11ª edição, São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009, pp. 485-43.

O campo F = x y i + y j - y z k é o campo de velocidades de um escoamento no espaço. Encontre o escoamento de ( 0,0 , 0 ) até 1,1 , 1 ao longo da curva de interseção do cilindro y = x 2 e do plano z = x . (Sugestão: use x = t como parâmetro.)

Passo 1

Na teoria a gente viu que escoamento nada mais é que a integral de linha:

C F . d r =   a b F x t ,   y t , z t . σ ' t   d t

O campo foi dado no enunciado F = ( x y , y , - y z ) , só fica faltando a parametrização da curva C .

Então vamos começar por isso, né?

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Passo 2

O exercício da uma dica boa de usar x = t , então vamos usá-la. E isso dá que y = t 2 , certo?

Então, pelo cilindro, encontramos que a projeção no plano x y pode ser parametrizada por:

t , t 2

Mas aqui estamos no R 3 , então vamos usar a outra superfície para encontrar a parametrização da nossa curva C no espaço.

E o que temos é algo simples, o plano z = x , que nos dá z = t também.

Assim temos que nossa curva C tem parametrização:

σ = ( t , t 2 , t )

Que vai de 0,0 , 0 a ( 1,1 , 1 ) , então 0 t 1 , concorda?

Passo 3

Da parametrização podemos tirar o vetor tangente:

σ = d x d t , d y d t , d z d t = ( 1,2 t , 1 )

E agora já temos tudo que precisamos pra calcular a integral, é so jogar na fórmula!

Passo 4

Então, vamos ter que: a b F x t ,   y t , z t σ ' t   d t = 0 1 ( t t 2 , t 2 , - t 2 t ) ( 1,2 t , 1 ) d t

= 0 1 t 3 + 2 t 3 - t 3 d t = 0 1 2 t 3 d t = 2 t 4 4 0 1 = 1 2

Resposta

1 2

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