Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

A curva dada por:

C = x , y , z ∈ R 3 ; z = x 2 + y 2 ; z = 4 y

Representa o formato de um arame.

  1. Encontre uma parametrização para C
  2. Escreva duas integrais definidas no parâmetro que expressem respectivamente:

- a carga do arame, se a densidade é dada por ρ r → = x y - 2

- o trabalho que realiza o campo F → r → = x y - 2 j → ao longo do arame

Passo 1

  1. Temos as equações:
  2. z = x 2 + y 2

    z = 4 y

    Utilizando a segunda na primeira:

    4 y = x 2 + y 2

    Ajeitando:

    x 2 + y 2 - 4 y = 0

    Completando os quadrados:

    x 2 + y - 2 2 = 4

    x 2 4 + y - 2 2 4 = 1

    Passo 2

    Agora, temos de parametrizar a equação:

    x 2 4 + y - 2 2 4 = 1

    É uma circunferência, então:

    x = 2 c o s θ

    y = 2 s e n θ + 2

    0 ≤ θ ≤ 2 π

    Porém, z = 4 y

    Logo, temos:

    x = 2 c o s θ

    y = 2 s e n θ + 2

    z = 8 s e n θ + 8

    0 ≤ θ ≤ 2 π

    Passo 3

  3. Como ρ r → = x y - 2 éa densidade, podemos calcular a carga pela integral:

∫ C ρ r → d s = ∫ C x y - 2 d s

Substituindo, vamos ter:

∫ C x y - 2 d s = ∫ 0 2 π 4 c o s θ s e n θ r ' ( θ ) d θ

Calculando:

r ' ( θ ) = - 2 s e n θ 2 + 2 c o s θ 2 + 8 c o s θ 2 = 2 1 + 16 cos 2 ⁡ θ

Logo, a integral fica:

∫ C ρ r → d s = ∫ 0 2 π 8 c o s θ s e n θ 1 + 16 cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

O trabalho do campo é dado por:

∫ C F → r → d r → = ∫ C 0 d x + x y - 2 d y + 0 d z

Lembrando que d y = 2 c o s θ d θ , substituindo:

∫ C F → r → d r → = ∫ 0 2 π 8 c o s θ s e n θ c o s θ d θ

Resposta

  1. x = 2 c o s θ ,   y = 2 s e n θ + 2 ,   z = 8 s e n θ + 8 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π
  2. Item i) ∫ C ρ r → d s = ∫ 0 2 π 8 c o s θ s e n θ 1 + 16 cos 2 ⁡ θ d θ , Item ii) ∫ C F → r → d r → = ∫ 0 2 π 8 c o s θ s e n θ c o s θ d θ

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule a integral de linha ∫ C F.d r , onde C é dada pela função vetorial r t . F x ,y = x + yi + y - z j + z 2k, r t = t 2i + t 3j + t 2k,0 ≤ t ≤ 1
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 cos ⁡ z i → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →s e