Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

Seja γ t = cos ⁡ t , s e n   t ,   2 - s e n ( 2 t ) para t ∈ [ 0,2 π ] .

Calcule ∫ γ   F → . d r → , onde F → x , y , z = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , z 2 + y .

Passo 1

Bom, como a curva já está parametrizada, a primeira coisa a se fazer aqui é derivar essa parametrização: γ ' ( t ) = d cos ⁡ t d t , d s e n   t d t , d 2 - s e n ( 2 t ) d t = - s e n   t , cos ⁡ t , - 2 cos ⁡ ( 2 t )

Passo 2

Podemos, então, substituir o que temos na fórmula abaixo. Escrevendo o campo em função da nossa parametrização:

F γ t = - s e n   t 1 , cos ⁡ t 1 , 2 - s e n 2 t 2 + s e n   t

Levando para a fórmula:

∫ γ   F x , y , z d s = ∫ a b F x t ,   y t , z t ⋅   σ → ' d t

Temos:

= ∫ 0 2 π - s e n   t 1 , cos ⁡ t 1 , 2 - s e n 2 t 2 + s e n   t . - s e n   t , cos ⁡ t , - 2 cos ⁡ ( 2 t ) d t =

= ∫ 0 2 π s e n 2   t + cos 2 ⁡ t - 2 cos ⁡ 2 t 4 - 4   s e n 2 t + s e n 2 2 t   - 2 cos ⁡ 2 t s e n   t   d t =

= ∫ 0 2 π 1 - 8 cos ⁡ 2 t + 8 cos ⁡ 2 t   s e n 2 t - 2 cos ⁡ 2 t s e n 2 2 t   - 2 cos ⁡ 2 t s e n   t   d t =

Passo 3

Agora falta resolver a integral né?

= t - 4   s e n 2 t - c o s 4 t + 1 3 s e n 3 ( 2 t ) 0 2 π - 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 t s e n   t   d t =

= 2 π - 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 t s e n t   d t =

Agora, nós vamos usar as seguintes relações de arco duplo:

cos ⁡ 2 t = cos 2 ⁡ ( t ) - s e n 2 ( t )

Isso nos dá

= 2 π - 2 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t - s e n 2 t s e n t   d t =

= 2 π - 2 ∫ 0 2 π s e n t cos 2 ⁡ t - s e n 3 t   d t =

Reescrevendo

= 2 π - 2 ∫ 0 2 π s e n t cos 2 ⁡ t - s e n ( t ) s e n 2 t   d t =

= 2 π - 2 ∫ 0 2 π s e n t cos 2 ⁡ t - s e n t 1 - cos 2 ⁡ t d t =

= 2 π - 2 ∫ 0 2 π s e n t cos 2 ⁡ t - s e n t + s e n t cos 2 ⁡ ( t ) d t =

= 2 π - 2 ∫ 0 2 π 2 s e n t cos 2 ⁡ t - s e n t d t =

= 2 π - 2 - 2 3 cos 3 ⁡ t + c o s ⁡ ( t ) 0 2 π =

= 2 π =

Resposta

2 π

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule a integral de linha ∫ C F.d r , onde C é dada pela função vetorial r t . F x ,y = x + yi + y - z j + z 2k, r t = t 2i + t 3j + t 2k,0 ≤ t ≤ 1
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 cos ⁡ z i → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →s e