Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

Seja γ a curva dada pela intersecção do paraboloide z = x 2 + y 2 com o cilindro x 2 + y 2 = 6 , orientade de modo que sua projeção no plano x y seja percorrida uma ver no sentido anti-horário. Calcule ∫ γ   F → . d r → no seguinte caso:

F → x , y , z = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , sen ⁡ z 8 + z 4  

Passo 1

A integral de linha aqui é vetorial então precisamos descobrir como parametrizar a interseção entre o paraboloide e o cilindro. Vamos começar descobrindo a interseção entre o paraboloide e o cilindro, repara que temos

x 2 + y 2 = 6

Então

z = x 2 + y 2 = 6

Logo a interseção é a curva

x 2 + y 2 = 6

Com

z = 6

Podemos parametrizar essa circunferência de boa, vai ficar

σ t = 6 cos ⁡ t , 6 sen ⁡ t , 6

Com t ∈ 0,2 π

Passo 2

Agora queremos a derivada desse cara

σ ' t = - 6 sen ⁡ t , 6 cos ⁡ t , 0

Vamos para a integral

Passo 3

A integral vai ficar

∫ γ   F → . d r → = ∫ 0 2 π F → σ t . σ ' t d t

⇒ ∫ 0 2 π - 6 sen ⁡ t 6 cos ⁡ t 2 + 6 sen ⁡ t 2 , 6 cos ⁡ t 6 cos ⁡ t 2 + 6 sen ⁡ t 2 , sen ⁡ 6 8 + 6 4   ∙ - 6 sen ⁡ t , 6 cos ⁡ t , 0 d t

⇒ ∫ 0 2 π 6 sen ⁡ t 6 sen ⁡ t 6 cos ⁡ t 2 + 6 sen ⁡ t 2 + 6 cos ⁡ t 6 cos ⁡ t 6 cos ⁡ t 2 + 6 sen ⁡ t 2 d t

⇒ ∫ 0 2 π 6 sen 2 ⁡ t 6 cos 2 ⁡ t + 6 sen 2 ⁡ t + 6 cos 2 ⁡ t 6 cos 2 ⁡ t + 6 sen 2 ⁡ t d t

⇒ ∫ 0 2 π 6 sen 2 ⁡ t 6 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t + 6 cos 2 ⁡ t 6 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t d t

⇒ ∫ 0 2 π 6 sen 2 ⁡ t 6 + 6 cos 2 ⁡ t 6 d t

⇒ ∫ 0 2 π sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t

⇒ ∫ 0 2 π 1 d t

⇒ 2 π

Resposta

2 π

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule a integral de linha ∫ C F.d r , onde C é dada pela função vetorial r t . F x ,y = x + yi + y - z j + z 2k, r t = t 2i + t 3j + t 2k,0 ≤ t ≤ 1
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 cos ⁡ z i → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →s e