Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

UFF - Cálculo IIIA - Lista 4 - 6

Seja C a interseção do cilindro x 2 + y 2 = 4 com o semiplano y + z = 0 , y 0 , percorrida de modo que sua projeção no plano x y tenha sentido anti-horário e seja F x , y , z = x 4 i + y 4 j + z 4 k . Calcule a integral

C F d r

Passo 1

Na teoria vimos que a integral de linha é dada por:

C F . d r =   a b F x t ,   y t , z t . σ ' t   d t

O campo foi dado no enunciado F x , y , z = x 4 i + y 4 j + z 4 k ,   só fica faltando a parametrização da curva. Então vamos atrás dela!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Precisamos conseguir parametrizar a curva C . Podemos parametrizar o cilindro direto

x 2 + y 2 = 4

Vamos ter

x = 2 cos θ

y = 2 sen θ

Ele disse que y > 0 isso nos diz que

2 sen θ > 0

sen θ > 0

Então

θ 0 , π

Falta a componente z , mas temos uma relação entre y e z

z + y = 0

Então

z = - 2 sen θ

z = - 2 sen θ

Vamos ter

σ θ = 2 cos θ , 2 sen θ , - 2 sen θ

Com θ 0 , π

Passo 3

Agora calculamos σ ' θ

σ ' t = θ 2 cos θ , θ 2 sen θ , θ - 2 sen θ = - 2 sen θ , 2 cos θ , - 2 cos θ

Passo 4

Uma coisa que temos que ficar atentos na integral de linha é o sentido da curva. Ele disse que o sentido é anti-horário da projeção no plano x y , isso já é a orientação normal que temos, e estamos rodando no sentido anti-horário.

Vamos, então, substituir σ θ e σ ' θ na integral.

0 π 2 cos θ 4 , 2 sen θ 4 , - 2 sen θ 4 - 2 sen θ , 2 cos θ , - 2 cos θ d θ

= 0 π 16 cos 4 θ , 16 sen 4 θ , 16 sen 4 θ - 2 sen θ , 2 cos θ , - 2 cos θ d θ

= 0 π - 32 cos 4 θ sen θ + 32 sen 4 θ cos θ - 32 sen 4 θ cos θ 0 d θ

= - 0 π 32 cos 4 θ sen θ d θ

= - 32 0 π cos 4 θ sen θ d θ

Vamos resolver essa integral separada

Passo 5

cos 4 θ sen θ d θ

Vamos fazer

u = cos θ

Então

d u = - sen θ d θ

A integral vai ficar

cos 4 θ sen θ d θ = - u 4 d u

Resolvendo a integral vamos ter

- u 4 d u = - u 5 5

Voltando para θ

- u 5 5 = - cos 5 θ 5

cos 4 θ sen θ d θ = - cos 5 θ 5

Passo 6

Voltando para nossa integral

= - 32 0 π cos 4 θ sen θ d θ

Vamos ter

= - 32 - cos 5 θ 5 θ = 0 π = 32 cos 5 θ 5 θ = 0 π

= 32 cos 5 π 5 - cos 5 0 5

= 32 - 1 5 5 - 1 5 5

= 32 - 1 5 - 1 5

= 32 - 2 5

= - 64 5

Resposta

- 64 5

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