Exercícios Resolvidos de Difração em Fenda Simples

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 137-8.

Os fabricantes de fios (e outros objetos de pequenas dimensões) às vezes usam um laser para monitorar continuamente a espessura do produto. O fio intercepta a luz do laser, produzindo uma figura de difração parecida com a de uma fenda com a mesma largura que o diâmetro do fio (Fig.36-39).

Suponha que o fio é iluminado com um laser de hélio-neônio, com um comprimento de onda de 632,8 n m , e que a figura de difração aparece em uma tela situada a uma distância L = 2,60 m do fio. Se o diâmetro do fio é 1,37 m m , qual é a distância observada entre dois mínimos de décima ordem (um de cada lado do máximo central) ?

Passo 1

Neste exercício, nós queremos saber a distância entre dois mínimos de décima ordem, um de cada lado do máximo central.

Quanto maior a ordem de um dado mínimo, maior a distância angular dele até o centro da figura. Por isso, já que estamos trabalhando com o mínimo de décima ordem, é mais seguro nós não considerarmos válida a aproximação de pequenos ângulos e tentarmos resolver o exercício da forma mais exata possível.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiramente nós encontramos a distância angular dos mínimos até o centro da figura. Isso pode ser feito pelas condições de interferência totalmente destrutiva:

sen ⁡ ( θ ) = m λ a

m = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 , …

O comprimento de onda da luz é de λ = 632,8   n m = 632,8 ∙ 10 - 9   m , o tamanho da “fenda” (diâmetro do fio) é a = 1,37   m m = 1,37 ∙ 10 - 3   m e os mínimos são de ordem m = ± 10 .

sen ⁡ θ = ± 10 ∙ 632,8 ∙ 10 - 9 1,37 ∙ 10 - 3 ≅ ± 461,9 ∙ 10 - 5

θ ≅ ± 0,004619   r a d ≅ ± 0,264 °

Neste caso, mesmo trabalhando com um mínimo de ordem alta, nós vemos que poderíamos ter usado a aproximação de pequenos ângulos desde o início.

Passo 3

Tendo confirmado que podemos usar a aproximação de pequenos ângulos, daqui podemos seguir o caminho que quisermos:

  • Usar os dois ângulos calculados para encontrar a distância entre eles a partir da tangente tan ⁡ ( θ ) = y / L ;
  • Usar direto a fórmula aproximada para a distância entre dois mínimos Δ y m = L m 1 - m 2 λ a .

Por comodidade, usarei a segunda que já nos dá direto o valor procurado, sendo a distância do fio até o anteparo de L = 2,60   m .

Δ y m = L m 1 - m 2 λ a = 2,60 ∙ 10 - - 10 ∙ 632,8 ∙ 10 - 9 1,37 ∙ 10 - 3 = 2,6 ∙ 20 ∙ 632,8 ∙ 10 - 9 1,37 ∙ 10 - 3

Δ y m ≅ 24   018 ,   69 ∙ 10 - 6   m ≅ 24,02   m m

Apenas por desencargo de consciência, vamos calcular da forma mais exata e comprovar que ambos os caminhos dariam aproximadamente o mesmo resultado.

Substituindo os ângulos:

y 1 = L ∙ tan ⁡ θ 1 = 2,6 ∙ tan ⁡ ( 0,004619   r a d ) ≅ 0,01201   m = 12,01   m m

y 2 = L ∙ tan ⁡ θ 2 = 2,6 ∙ tan ⁡ ( - 0,004619   r a d ) ≅ - 0,01201   m = - 12,01   m m

Δ y = y 1 - y 2 = 12,01 - - 12,01 = 24,02   m m

Ou seja, neste caso, ambos os caminhos são igualmente válidos.

Resposta

A distância observada entre os dois mínimos de décima ordem é Δ y = 24,02   m m .

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