Exercícios Resolvidos de Difração em Fenda Simples

Uma radiação eletromagnética, de comprimento de onda λ = 620 n m se propagando no ar, incide perpendicularmente sobre um plano contendo uma única fenda, cuja largura é a = 2480 n m .

Uma figura de difração é observada sobre um anteparo situado à uma distância D = 30 c m do plano da fenda. Determine:

  1. a posição angular θ dos mínimos de difração observados no anteparo no intervalo 0 ≤ θ ≤ π / 2 ;
  2. o número N de máximos observados no intervalo - π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 ;
  3. a diferença espacial Δ y entre os mínimos de difração de ordem m = 1 e m = 3 ;

Passo 1

Letra a)

Na difração por fenda simples, os mínimos são observados nos ângulos correspondentes à condição:

sen ⁡ θ = m λ a

m = 1 ,   2 ,   3 ,   …

Onde a = 2480   n m é a largura da fenda e λ = 620   n m é o comprimento de onda da luz. Vamos então calcular cada um dos mínimos pela fórmula:

sen ⁡ θ = m 620 2480 = m 4

θ = sen - 1 ⁡ m 4

Agora substituindo os valores de m :

m = 1 →     θ = 14,48 °

m = 2 → θ = 30 °

m = 3 →     θ = 48,6 °

m = 4 →     θ = 90 °

Que são a posição angular dos mínimos em questão.

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Passo 2

Letra b)

Entre dois mínimos se encontra sempre um máximo (não necessariamente no meio dos dois mínimos).

Assim, eu tenho além do máximo central, três máximos de um lado ( θ > 0 ) que estão entre os quatro mínimos e três do outro ( θ < 0 ), o que corresponde a um total de sete máximos.

N = 7

Passo 3

Letra c)

Neste caso, os ângulos envolvidos são muito grandes, e não poderíamos usar a aproximação de pequenos ângulos. Porém, se a prova der alguma indicação de que pode (como por exemplo, não deixar usar calculadora), então vai fundo e sem medo.

Por via das dúvidas, vou resolver das duas formas aqui pra te mostrar como faz.

Sem a aproximação, temos que usar a tangente dos ângulos para achar a posição de cada mínimo no anteparo.

tan ⁡ θ = y L

De acordo com o enunciado, a distância da fenda até o anteparo é L = D = 30   c m . Para o mínimo correspondente a m = 1 , temos:

y = tan ⁡ 14,48 ° ∙ 30 = 7,75   c m

Para m = 3 , temos:

y = tan ⁡ 48,6 ° ∙ 30 = 34,03   c m

A distância entre eles fica:

Δ y = 34,03 - 7,75 = 26,28   c m

Agora, qual seria essa distância se usássemos nossa aproximação mágica?

Neste caso, teríamos:

tan ⁡ θ ≈ sen ⁡ θ

E assim:

y L = m λ a

y = m λ L a

Podemos deixar λ e a em nanômetros, pois a unidade de um irá cortar com a do outro, e teremos no fim o y na mesma unidade de L .

A distância entre os dois seria:

Δ y a p r o x = Δ m λ L a = m 2 - m 1 λ L a = 3 - 1 ∙ 620 ∙ 30 2480 = 2 ∙ 30 4

Δ y a p r o x = 15   c m

O que nos deixa claro que essa aproximação não é nem um pouco razoável.

Resposta

Letra a)

m = 1 →     θ = 14,48 °

m = 2 → θ = 30 °

m = 3 →     θ = 48,6 °

m = 4 →     θ = 90 °

Letra b)

N = 7

Letra c)

Δ y = 26,28   c m

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