Exercícios Resolvidos de Difração em Fenda Simples

UFRJ- Física 4 – P1 2018.2 - DIURNO - DISCURSIVA

Um feixe de luz de frequência 5 × 10 15   H z passa por um anteparo opaco com uma única fenda de largura de 0,2   m m . A figura de difração é observada sobre uma tela a uma distância de 0,4   m do anteparo. Considere que o índice de refração do ar vale n a r = 1 e, para pequenos ângulos, vale a aproximação tan ⁡ θ ≈ sen ⁡ θ ≈ θ .

  1. Determine a abertura angular Δ θ da franja brilhante central, delimitada pelos dois mínimos existentes de cada lado dessa franja.
  2. Na tela, a que distância y o mínimo de ordem 10 está do máximo central de intensidade?
  3. Considere que o experimento é submerso em um aquário cheio de água ( n a g u a = 4 / 3 ) . Determine, na tela, a distância y entre o mínimo de ordem 10 e o máximo central.

Passo 1

a) Os mínimos de difração são dados por

s e n θ = m λ a

Para ângulos pequenos

sen ⁡ θ m ≈ θ m

Nessa expressão, a é a largura da fenda e λ é o comprimento de onda da luz que incidente sobre a fenda. Se olhamos para a abertura entre m = + 1 e m = - 1 , então teremos

Δ θ = θ m = + 1 - θ m = - 1 = 1 λ - - 1 λ a

Δ θ = 1 - - 1 λ a = 2 λ a   .

Agora, sabemos que o comprimento de onda será

λ = c f = 3 × 10 8 5 × 10 15 = 0,6 × 10 - 7 m

Jogando λ em Δ θ e lembrando que a = 0,2 m m = 0,2 × 10 - 3 m , vamos ter

Δ θ = 2 λ a = 2 × 0,6 × 10 - 7 0,2 × 10 - 3

Δ θ = 6 × 10 - 4   r a d   .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) O seno do ângulo de difração se relaciona com a distância y do mínimo no anteparo por

sen ⁡ θ m = y m D

Que por outro lado é

sen ⁡ θ m = m λ a

Assim

y m D = m λ a → y m = m λ a D

sendo D = 0,4 m a distância da fenda até o anteparo onde ocorre a interferência. Por isso, para o mínimo m = 10 , vamos ter

y 10 = 10 λ D a = 10 × 0,6 × 10 - 7 × 0,4 0,2 × 10 - 3

y 10 = 0,0012   m

y 10 = 1,2   m m

Passo 3

c) Nesse caso, como índice de refração do meio é igual a n a , a velocidade v a da onda neste meio não será c . Ela é dada por

v a = c n a   .

Como a frequência f da onda não muda, temos que o comprimento será

λ a = v a f = c n a f

λ a = λ 0 n a

Sendo λ 0 = 0,6 × 10 - 7 m , o valor que encontramos antes. E é isso que muda na nossa equação! Assim vamos modificar a nossa antiga posição do mínimo m = 10 para

y 10 = 10 λ 0 D a → y 10 ' = 10 λ a D a = 10 λ 0 D a n a

Você pode substituir todos a valores e fazer a conta de novo, mas não precisa! Por que boa parte dessa conta a gente já fez no passo anterior, saca só

y 10 ' = 10 λ 0 D a 1 n a = y 10 n a

É só pegar o resultado do passo anterior e correr pro abraço!

y 10 ' = 1,2 4 3

y 10 ' = 0,9 m m

Resposta

  1. Δ θ = 6 × 10 - 4   r a d   ;
  2. y 10 = 1,2   m m   ;
  3. y 10 = 0,9   m m   .

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