Exercícios Resolvidos de Difração em Fenda Simples

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Enunciado

Luz proveniente de uma fonte monocromática de comprimento de onda λ   é difratada por uma fenda de largura a em um anteparo paralelo às frentes de ondas planas. A figura de difração é observada em uma tela distante.

(a) Se o primeiro mínimo da figura de difração ocorre em um determinado ângulo γ contado a partir da região central, calcule a largura a da fenda. Considere a aproximação s e n γ = γ válida para ângulos pequenos.

(b) Num segundo experimento, luz de comprimento de onda λ ~ ≠ λ é difratada pela mesma fenda produzindo o primeiro máximo secundário no mesmo ângulo γ do item (a). Qual a relação entre λ e λ ~ ?

(c) Calcule a abertura a ~ da fenda para que a largura da franja brilhante na região central da figura de difração seja diminuída para 1/3 do valor.

Passo 1

(a) Sabemos que os pontos de mínimo da figura de difração produzidos por uma fenda de largura a são dados pela fórmula:

a s e n γ = m λ

onde m = ± 1 , ± 2 , ± 3 , …

Então o primeiro mínimo da figura de difração m = 1 é dado por:

a s e n γ = λ

Usando a aproximação para ângulos pequenos s e n γ = γ :

a γ = λ

Logo:

a = λ γ

Passo 2

(b) Agora a gente tem uma outra luz, com comprimento de onda λ ~ , que tem o seu primeiro máximo secundário no mesmo ângulo γ que tínhamos no item (a).

Tínhamos achado que:

a = λ γ

Logo:

γ = λ a

A gente não sabe calcular a posição de um máximo secundário!!

Mas sabemos que entre dois mínimos, existe um máximo secundário.

Vamos considerar então que esse máximo esteja no meio dos dois mínimos adjacentes, que são m = 1 e m = 2 .

Vamos começar calculando as posições (ângulos) desses mínimos.

Para m = 1 :

γ 1 = λ ~ a

Já para m = 2 :

γ 2 = 2 λ ~ a

O ângulo médio entre esses dois caras é:

γ m e d = γ 1 + γ 2 2

γ m e d = 1 2 λ ~ a + 2 λ ~ a

γ m e d = 3 λ ~ 2 a

Igualando com o que tínhamos antes:

γ = γ m e d

λ a = 3 λ ~ 2 a

λ ~ = 2 3 λ

Passo 3

(c) Vamos usar um raciocínio parecido com o do item anterior.

De novo a gente não sabe calcular a posição do máximo central.

Mas sabemos que ele tá entre o mínimo de posição m = 1 e m = - 1 .

Ou seja, vai ser o dobro do ângulo que a gente achar para m = 1 , pois vamos ter esse ângulo para cima do máximo central e para baixo.

Então:

γ c e n t r a l = 2 λ a

Como foi pedido no enunciado, queremos que:

γ ~ c e n t r a l = γ c e n t r a l 3

Se mantemos o mesmo comprimento de onda e só mudamos a largura da fenda, vamos ter:

2 λ a ~ = 2 λ 3 a

∴ a ~ = 3 a

Resposta

(a) a = λ γ

(b) λ ~ = 2 3 λ

(c) a ~ = 3 a

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