Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

PF-2017/1UFRJ Questão 2

Admita que o intervalo de tempo T entre duas chegadas sucessivas de mensagens de Whatsapp ao celular de determinada pessoa segue uma distribuição Exponencial, e que a probabilidade de que esse intervalo de tempo seja maior que 20 minutos é igual a 0,135.

a) Em média, quanto tempo após a chegada de uma mensagem deve chegar a próxima mensagem?

b) Qual a probabilidade de que T seja no máximo 40 minutos, dado que T é no mínimo 25 minutos?

c) Qual o desvio padrão do número de mensagens que a pessoa recebe em meia hora?

d) Qual a probabilidade de que, ao longo de 1 hora, ela receba pelo menos 4 mensagens?

Passo 1

Bom, lendo o enunciado dessa questão, a primeira coisa que ele fala pra gente é pra considerarmos uma v.a. T que é dada por:

T = i n t e r v a l o   d e   t e m p o   e n t r e   d u a s   c h e g a d a s   s u c e s s i v a s   d e   m e n s a g e n s

E além disso, ele já fala pra gente qual modelo de distribuição nossa v.a. T segue: Exponencial! T ~ E x p ( λ )

Não sabemos qual o valor do parâmetro λ , certo? Mas podemos descobrir! A questão fala pra gente que a probabilidade de que o intervalo de tempo seja maior que 20 minutos é 0,135. Com isso, temos o seguinte:

P T > 20 = 0,135

Mas sabemos que:

P T > 20 = 1 - P ( T ≤ 20 )

E P ( T < 20 ) é uma FDA, certo? Lembrando a fórmula da FDA da Exponencial:

P X ≤ x = 1 - e - x λ

Então teríamos que:

P T > 20 = 1 - P T ≤ 20 = 1 - 1 - e - 20 λ = e - 20 λ

Agora podemos igualar isso aí ao valor que foi dado no enunciado:

P T > 20 = e - 20 λ = 0,135

- 20 λ = l n ⁡ ( 0,135 )

- 20 λ = - 2

λ = 0,1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a)Em média, quanto tempo após a chegada de uma mensagem deve chegar a próxima mensagem?

Ele falou média, você já pensa logo em esperança! Vamos então calcular:

E T = 1 λ = 1 0,1 = 10   m i n u t o s

Passo 3

b) Qual a probabilidade de que T seja no máximo 40 minutos, dado que T é no mínimo 25 minutos?

Cara, ele pede pra gente calcular a seguinte probabilidade:

P T < 40 T > 25

Vamos usar a propriedade da perda de memória da exponencial pra calcular o complementar disso aí.

P T > 40 T > 25 = P T > 40 - 25 = P T > 15

Isso aí você sabe calcular, né? Vamos usar a função de prob. da exponencial!

P T > 15 = e - 0,1 × 15 = e - 1,5 = 0,223

Agora vamos calcular o que queríamos! Como calculamos o complementar, basta fazermos o seguinte:

P T < 40 T > 25 = 1 - 0,223 = 0,777

Passo 4

c) Qual o desvio padrão do número de mensagens que a pessoa recebe em meia hora?

Cara, ele fala sobre a chegada de mensagens em meia hora. Uma sequência de eventos que ocorre numa unidade de tempo... Poisson!

Isso mesmo, aqui usaremos a relação exponencial-poisson.

Vamos criar uma outrav.a. :

X = n º   d e   c h e g a d a   d e   m e n s a g e n s   e m   t r i n t a   m i n u t o s

Sabemos, pela relação, que X terá o seguinte parâmetro:

λ t = 0,1 × 30 = 3

Logo,

X ~ P o i s s o n ( 3 )

E, para calcularmos o desvio padrão, basta fazer a raiz quadrada da variância.

Como estamos na distribuição de Poisson, temos que a variância é o próprio parâmetro:

V A R X = 3

Logo,

D P X = V A R X = 3 = 1,73

Passo 5

d)Qual a probabilidade de que, ao longo de 1 hora, ela receba pelo menos 4 mensagens?

Aqui continuamos com a mesma ideia: uma sequência de eventos, ou seja, chegada de mensagens, num intervalo de tempo, 1 hora(60 minutos).

Continuaremos utilizando a relação exponencial-poisson!

Vamos criar outra v.a.:

Y = n º   d e   c h e g a d a   d e   m e n s a g e n s   e m   60   m i n u t o s

Aqui, teremos o seguinte parâmetro:

λ t = 0,1 × 60 = 6

Logo, ficamos com o seguinte:

Y ~ P o i s s o n ( 6 )

Passo 6

Ele quer a probabilidade de receber pelo menos4 mensagens. Ou seja:

P ( Y ≥ 4 )

Vamos resolver isso pelo complementar!

P Y ≥ 4 = 1 - P Y < 4 = 1 - [ P Y = 3 + P Y = 2 + P Y = 1 + P ( Y = 0 ) ]

Calculando isso, ficamos com:

1 - e - 6 ∙ 6 3 3 ! - e - 6 ∙ 6 2 2 ! - e - 6 ∙ 6 1 1 ! - e - 6 ∙ 6 0 0 ! = 0,849

Resposta

a) 10 min

b) 0,777

c) 1,73

d) 0,849

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