Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

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Enunciado

08) Um motor elétrico fabricado por uma empresa apresenta duas falhas por ano em média quando funcionando continuamente. Sabe-se que uma variável aleatória com taxa de falhas constante é bem modelada por uma distribuição exponencial com parâmetro igual à taxa de falhas. A probabilidade do motor falhar durante o primeiro ano de operação e o tempo esperado de funcionamento em anos t f são, respectivamente:

A) e - 1 ; t f = 2 .

B) 1 - e - 1 ; t f = 1 .

C) e - 2 ; t f = 2 .

D) 1 - e - 2 ; t f = 1 2

E) e - 2 ; t f = 1 .

Passo 1

Eaí galera, tudo bem com vocês?

Nessa questão temos um motor elétrico cujo número de falhas é bem modelado por uma distribuição exponencial, com λ = 2 falhas por ano. O que a questão quer saber é a probabilidade do motor falhar no primeiro ano e o tempo esperado de funcionamento.

Antes de começar, bora dar uma revisada na distribuição exponencial.

A distribuição exponencial modela probabilidades que vão decaindo com o decorrer de alguma grandeza (geralmente é o tempo mesmo). A função de densidade de probabilidade dela vale:

f x =   0 ,                                     s e   x < 0 λ e - λ x ,     s e   x ≥ 0

Além disso, possui:

E X = 1 λ

V a r X = 1 λ 2

Ainda tem mais uma coisinha que é bom a gente saber, mas que também dá pra desenvolver a partir da função de densidade. É a função de distribuição acumulada (FDA), F ( x ) . Em V.A contínuas são as FDA’s que nos dão as probabilidades, e elas podem ser obtidas por integração de f ( x ) . Daí:

F x =   0 ,                                                 s e   x < 0 1 - e - λ x ,     s e   x ≥ 0

Massa! Agora que demos uma revisada, bora pra resolução em si.

Passo 2

Então, a probabilidade do motor falhar durante o primeiro ano é dada de forma direta pela FDA, ou seja:

P X ≤ 1 = F 1 = 1 - e - 2

Já para calcular o tempo esperado de funcionamento, precisamos simplesmente pegar o valor esperado de X . Como temos uma distribuição exponencial, o valor esperado vale:

E X = 1 λ

Daí:

E X = 1 2

Prontinho, galera! Depois da revisão até que saiu bem rapidinho.Espero que vocês tenham entendido, até a próxima 😊

Resposta

Letra D: 1 - e - 2 ; t f = 1 2

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Suponha que a variável aleatória tenha valores possíveis, 1, 2, 3, .. e que P X = r = k 1 - β r - 1,0β1 Determine a constante k e ache a moda desta distribuição.
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:P ( X = 5 )
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:P ( X = 5 ) P ( 4X6 ) P ( 2 = X5 )
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:(d) P (X = 7,X2) .
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:(c) P ( 2 = X5 )