Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

Distribuição Poisson

Estudos mostram que em períodos críticos, o número de casos de dengue notificados em um determinado posto de saúde segue uma distribuição de Poisson. A cada semana, em média, 3 casos são notificados.

  1. Qual é a probabilidade de que o intervalo de tempo entre duas notificações consecutivas seja maior que dois dias?
  2. Após uma notificação no início de uma semana, exatamente 2 dias se passaram sem nenhum outro caso ser notificado. Qual é a probabilidade de que não haja casos notificados nesta semana?

Passo 1

(a)

Primeiro a gente tem X → n ú m e r o   d e   c a s o s   d e   d e n g u e   p o r   s e m a n a .

X   ~   P o i s s o n 3

Já que a média é λ = 3 .

Só que o item (a) trata em “dias”, não em “semanas”, então vamos alterar essa distribuição aí.

Vou chamar de:

Y → n ú m e r o   d e   c a s o s   d e   d e n g u e   p o r   d i a

Se eu tinha uma média de 3 casos por semana e uma semana tem 7   dias, qual vai ser a minha média de casos por dia?

λ = 3 7

Concorda? Então:

Y   ~   P o i s s o n 3 7

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que vem o pulo do gato, eu não estou interessado na quantidade de casos por dia, mas sim no intervalo de tempo (em dias) entre dois casos consecutivos. Hmmm, lembra daquela relação Exponencial – Poisson.

Poisson é número de algum evento e Exponencial é o intervalo entre esses eventos.

Vou chamar então de:

Z → i n t e r v a l o   e m   d i a s   e n t r e   d o i s   c a s o s   d e   d e n g u e   c o n s e c u t i v o s

Z   ~   E x p   3 7

O lambda continua o mesmo.. lembra o porque?

Se eu tenho uma média de 3 7 casos de dengue por dia, qual o intervalo médio que eu devo ter entre 2 casos consecutivos? Seria 1 3 7 = 7 3 , certo? Só que a média de uma distribuição exponencial é:

E Z = 1 λ

Aí a gente fica com:

1 λ = 7 3 → λ = 3 7

Passo 3

Tá a gente tem que calcular a probabilidade do intervalo ser maior do que dois dias. Só a gente pegar a função de probabilidade da exponencial e integrar de 2 até infinito.

F z = λ e - λ z

∫ 2 ∞ 3 7 e - 3 7 z   d z

= - e - 3 7 z 2 ∞

= - 1 e - ∞ + e - 6 7

= e - 6 7

= 0,4244

Passo 4

(b)

Passo 5

A gente tem que calcular a probabilidade do intervalo entre dois casos ser maior que 7   dias (garantindo que não teremos casos de dengue nessa semana), já sabendo que não houve casos num intervalo de 2 dias T > 2 .

P T > 7 T > 2 =   ?

Usando a fórmula da probabilidade condicional:

P T > 7 T > 2 = P T > 7 ∩ T > 2 P T > 2

A interseção de T > 7 com T > 2 é o próprio T > 7 , concorda? Interseção de todos os valores maiores que 2 como todos os valores maiores que 7 são os próprios valores maiores que 7 , já que todo valor maior que 7 também é maior que 2 .

Então fica:

= P T > 7 P T > 2

O de baixo a gente já tem, vamos calcular o de cima.

Passo 6

P T > 7 = ∫ 7 ∞ 3 7 e - 3 7 z   d z

= - e - 3 7 z 7 ∞

= - 1 e - ∞ + e - 3

= e - 3

Passo 7

Agora é só juntar:

P T > 7 T > 2 = e - 3 0,4244

≅ 0,1173

Resposta

a   0,4244

b   0,1173

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