Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

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Enunciado

Uma pessoa chega ao caixa de um supermercado para passar suas compras. O tempo de atendimento é uma variável aleatória T   . Sabe-se que a probabilidade de ela demorar mais que t   instantes de tempo para terminar de passar suas compras no caixa é   P T   >   t =   e - λ t . Determine a função densidade de probabilidade de T   .

Passo 1

Fala galera!!! Tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Essa questão é bem bacana, pois utilizamos uma propriedade fundamental de distribuições de probabilidade.

A questão nos informa que a variável aleatória T   tem a seguinte probabilidade:

  P T   >   t =   e - λ t

Queremos calcular a função de densidade de probabilidade de T   .

Passo 2

Antes de sairmos calculando as coisas, vamos relembrar a definição de função de probabilidade de uma variável X   , a F   -zona.

F x   =   P X ≤ x

e

P X ≤ x   =   ∫ - ∞ x f x d x , onde f x é a função de densidade de X   .

Ou seja, a função de probabilidade pode ser obtida por meio da função de densidade, e vice versa.

Então se derivarmos a F     em função de x descobrimos que

d F x d x   =   d ∫ - ∞ x f x d x d x

(Pelo teorema fundamental do cálculo)

d F x d x   =   f x .

Então agora só precisamos obter a função de probabilidade de T   e deriva-la.

Passo 3

Vamos obter a função de probabilidade de T   .

Sabemos que

  P T   >   t =   e - λ t

Usando a probabilidade do conjunto complementar.

  P T   ≤   t = 1 - P T > t

= 1 -   e - λ t

Derivando em relação a t  

d P T   ≤   t d t = 1 - e - λ t

= d - e - λ t d t

(pela regra da cadeia)

= λ e - λ t

Essa é a densidade da distribuição exponencial com parâmetro λ .

Com isso terminamos mais uma questão de probabilidade. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!! 😊

Resposta

λ e - λ t

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