Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

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Enunciado

O tempo de vida de uma máquina é uma variável aleatória contínua X   ≥ 0   , expressa em anos. Sabe-se que P X   > a   =   e - a β , sendo β   >   0     uma constante. Considere uma máquina que está em operação a um ano. Qual a probabilidade dessa máquina funcionar por mais dois anos.

Passo 1

Fala galera. Tudo certinho? Vamos para mais uma questão de probabilidade, dessa vez envolvendo distribuições exponenciais. Como de costume, vamos anotar as informações relevantes passadas pelo enunciado.

  • P X   >   a   =   e - a β (isso é familiar não acha? Essa é a função de probabilidade acumulada de uma exponencial)

Queremos P X   >   1   +   2   X   >   1

Passo 2

A maneira mais fácil de fazer essa questão é usar o fato que a distribuição exponencial tem a propriedade da perda de memória, isto é:

P X   >   a   +   b   X   >   b   =   P X   >   a

Vamos prova-la aqui.

Seja X   ∼   exp ⁡ a , então P X >   x + y   X >   y   =   P X > x + y ,   X > y P X > y

  =   P X > x + y P X > y

  =   e - a x + y e - a y

  =   e - a x

Passo 3

Agora podemos calcular a probabilidade de P X   >   1 + 2   X   >   1

P X   >   1 + 2   X   >   1   =   P X   >   2

P X   >   2   =   e - 2 β

Uma curiosidade, a probabilidade da perda de memória é única para a distribuição exponencial no caso de variáveis aleatórias contínuas. I.e uma variável aleatória contínua tem a propriedade da perda de memória se e somente se tiver distribuição exponencial.

Resposta

e - 2 β

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Suponha que a variável aleatória tenha valores possíveis, 1, 2, 3, .. e que P X = r = k 1 - β r - 1,0β1 Determine a constante k e ache a moda desta distribuição.
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:P ( X = 5 )
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:P ( X = 5 ) P ( 4X6 ) P ( 2 = X5 )
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:(d) P (X = 7,X2) .
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:(c) P ( 2 = X5 )