Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

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Enunciado

Seja X   ~   E X P ( ) ; λ   >   0 e X   >   0 .

Pede-se:

a) A densidade da v.a Y   =   X   +   3 , em seguida as seguintes probabilidades

b) P r o b   ( 2 ≤   X ≤ 3 ) e P r o b   ( 3 ≤   Y ≤ 5 )

Passo 1

(a) E aí, meus queridos! Bora pra terceira questão dessa Tarefinha!

Antes de qualquer coisa! Se temos a seguinte expressão abaixo...

X   ~   E X P ( )

Então, temos a seguinte função...

f x = λ e - λ x ,   x > 0

Onde a probabilidade pode ser calculada a partir de...

F x = 1 - e - λ x

E o enunciado também nos dá a seguinte v.a...

Y = X + 3

Vamos ajustar isso aí em torno de X ...

X = Y - 3

Agora calculamos d Y d X :

d Y d X = d X + 3 d X = 1

Pra terminar, usamos nosso método do jacobiano que diz que...

g y = f x ⋅ d X d Y

Onde g ( y ) é a função de densidade de Y .

g y = λ e - λ ( y - 3 )  

E a probabilidade pode ser dada por...

G y = 1 - e - λ ( y - 3 )  

Passo 2

(b) Agora é a hora de calcular as probabilidades!

Pra primeira probabilidade...

P 2 ≤ X ≤ 3 =   ?

Podemos usar o seguinte arranjo...

P 2 ≤ X ≤ 3 = P X ≤ 3 - P ( X ≤ 2 )

E no caso, basta substituir na função f ( x ) ...

P 2 ≤ X ≤ 3 = P X ≤ 3 - P ( X ≤ 2 )

P 2 ≤ X ≤ 3 = 1 - e - 3 λ - 1 - e - 2 λ

P 2 ≤ X ≤ 3 = e - 2 λ - e - 3 λ

Passo 3

E em seguida, vamos fazer a mesma coisa para   P ( 3 ≤ Y ≤ 5 ) ...

Lembrando que dessa vez, a função está em Y , ou seja, temos que usar a G ( y ) :

P 3 ≤ Y ≤ 5 = P Y ≤ 5 - P Y ≤ 3 =

= 1 - e - λ y - 3 - 1 - e - λ y - 3 = 1 - e - 2 λ - 1 - 1 = 1 - e - 2 λ

Resposta

a)

g y = λ e - λ ( y - 3 )

b)

P 2 ≤   X ≤ 3 = e - 2 λ - e - 3 λ

P 3 ≤ Y ≤ 5 = 1 - e - 2 λ

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