Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

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Enunciado

Um sistema é constituído de 3   componentes que funcionam de forma independente. Sabe-se que se um dos componentes falhar o sistema falha. O tempo de vida de cada um dos componentes segue uma distribuição exponencial cujos valores esperados são: 10 t   , 10 t 3 e 10 t 6 . Qual a probabilidade de o sistema não falhar antes de t   ?

Passo 1

Fala pessoal. Tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade.

Do enunciado temos:

  • X 1 , X 2 , X 3 as varíaveis aleatórias que representam o tempo de vida de cada componente com valores esperados 10 t   , 10 t 3 e 10 t 6 respectivamente. Além disso, elas têm distribuição exponencial e são independentes.

Queremos saber qual a probabilidade do sistema NÃO falhar antes do tempo t  

Note que nós temos as esperanças das variáveis X 1 , X 2 , X 3 e não seus parametros. Mas podemos calculá-lo.

Seja X   ∼   exp ⁡ λ então:

E X   =   ∫ 0 ∞ x λ e - λ x d x  

  ∫ 0 ∞ x λ e - λ x d x   =   λ e - λ x λ x   + 1 λ 2 ​ x = 0   x   =   ∞

=   1 λ

Ou seja: X 1   ∼ exp ⁡ 1 10 t ; X 2   ∼ exp ⁡ 3 10 t ; X 3   ∼ exp ⁡ 6 10 t

Passo 2

Agora que sabemos quais são as distribuições de X 1 , X 2 , X 3 podemos calcular a probabilidade desejada. Queremos a probabilidade da máquina não falhar antes do tempo t   isto é:

P X 1   >   t ,   X 2   >   t ,   X 3   > t     =   P X 1   >   t P   X 2   >   t P   X 3   > t  

(por independência entre as componentes).

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades.

P X 1   >   t   =   e - 1 10 t . t   =   e - 1 10

P X 2   >   t   =   e - 3 10 t . t   =   e - 3 10

P X 3   >   t   =   e - 6 10 t . t   =   e - 6 10

Passo 3

Por fim podemos calcular a probabilidade do sistema não falhar

P X 1   >   t ,   X 2   >   t ,   X 3   > t     =   P X 1   >   t P   X 2   >   t P   X 3   > t  

P X 1   >   t P   X 2   >   t P   X 3   > t     =   e - 1 10 e - 3 10 e - 6 10

e - 1 10 e - 3 10 e - 6 10 =   e - 1

Resposta

  e - 1

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Suponha que a variável aleatória tenha valores possíveis, 1, 2, 3, .. e que P X = r = k 1 - β r - 1,0β1 Determine a constante k e ache a moda desta distribuição.
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:P ( X = 5 )
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:P ( X = 5 ) P ( 4X6 ) P ( 2 = X5 )
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:(d) P (X = 7,X2) .
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:(c) P ( 2 = X5 )