Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

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Em uma grande rede corporativa de computadores, o número de conexões dos usuários ao sistema pode ser modelado como um processo que segue uma distribuição Poisson com média de 20 conexões por hora. Pergunta-se:

  1. Qual a probabilidade de que o intervalo de tempo entre as conexões seja superior a 6 minutos?
  2. Qual a probabilidade de que o intervalo de tempo entre conexões esteja entre 2 e 4 minutos?
  3. Determine qual é o tempo que no mínimo deve transcorrer para que ocorra uma conexão, com 90% de probabilidade.

Passo 1

X : n º   d e   c o n e x õ e s   d o s   u s u á r i o s   p o r   h o r a

X ~ P o i s s o n ( 2 0 )

Issaê até agora não é novidade. Apenas o que já foi dito no enunciado!

Mas pera lá! Tão perguntando sobre o intervalo de tempo entre esses acontecimentos que seguem uma Poisson! Aqui temos que lembrar daquele bizu da relação da Poisson com a Exponencial.

O intervalo de tempo entre dois eventos consecutivos Poisson pode ser modelado como uma v.a. Exponencial! Então:

Y : i n t e r v a l o   d e   t e m p o   e n t r e   d u a s   c o n e x õ e s   c o n s e c u t i v a s

Y ~ E x p o n e n c i a l ( t λ )

Onde λ é a média da Poisson, ou seja, 20 , e t é o intervalo de tempo ao longo do qual estamos analisando as ocorrências dos nossos eventos Poisson. Como nossa v.a. X analisa as ocorrências ao longo de uma hora, nosso t = 1   h o r a ! Então os parâmetros de Y ficam:

Y ~ E x p o n e n c i a l 1 × 20 → Y ~ E x p o n e n c i a l ( 20 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a)

Agora queremos:

P ( Y > 6   m i n u t o s )

Mas estamos trabalhando em horas, então vamos passar isso aí pra hora também. Sabemos que 6 minutos é igual a 1 10 de hora, então o que queremos calcular é...

P Y > 1 10

Lembrando a fórmula da FDA da Exponencial:

P X ≤ x = F ( x ) = 1 - e - λ x ,     p a r a   x > 0

No nosso caso seria:

P Y ≤ y = F ( y ) = 1 - e - 20 y ,     p a r a   y > 0

Podemos trabalhar com a complementar para calcular a probabilidade pedida:

P Y > 1 10 = 1 - P Y ≤ 1 10 = 1 - F 1 10

Usando a fórmula da FDA:

P Y > 1 10 = 1 - 1 - e - 20 1 10 = 0,1353

Passo 3

b)

Agora queremos:

P ( 2 < Y < 4 )

De novo, isso aí foi pedido em minutos. Passando para horas, que é a unidade que estamos usando nos parâmetros de Y :

P 1 30 < Y < 1 15

A nossa função de densidade da Exponencial, lembrando que nosso λ = 20 , é:

f x = 20 e - 20 x

Então podemos calcular essa probabilidade integrando a função de densidade no intervalo pedido:

P 1 30 < X < 1 15 = ∫ 1 / 30 1 / 15 20 e - 20 x d x = - e - 20 x 1 30 1 15 = - e - 20 1 15 - e - 20 1 30 = 0,2498  

Passo 4

c)

Queremos saber qual o tempo mínimo que garante com 90% de chances que uma conexão vai ocorrer. Se queremos que o tempo seja mínimo, ele tem que limitar o nosso Y por baixo, ou seja, Y tem que ser maior que ele. A probabilidade que estamos discutindo é então:

P Y > t m i n = 0,90

Agora podemos usar a complementar da FDA:

P Y > t m i n = 1 - P Y ≤ t m i n = 1 - F ( t m i n )

Substituindo a fórmula dela aí (como vimos no passo 2)...

P Y > t m i n = 1 - 1 - e - 20 t m i n

E nós sabemos que isso aí tem que valer 0,90 . Igualando esses valores:

1 - 1 - e - 20 t m i n = 0,90

e - 20 t m i n = 0,90

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ e - 20 t m i n = ln ⁡ 0,90

- 20 t m i n ln ⁡ e = ln ⁡ 0,90

t m i n = 0,005 = 1 200   h o r a s = 18   s e g u n d o s

Resposta

a)

0,1353

b)

0,2498

c)

18   s e g u n d o s

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