Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

Distribuição Exponencial

Suponha que o tempo de vida de uma bateria de um determinado fabricante seja modelado por uma variável aleatória exponencial.

  1. Experimentos com diversas amostras dessa bateria mostraram que somente 8% delas funcionaram mais do que 250 dias. Mostre como utilizar este dado para estimar o parâmetro da distribuição e aponte um significado para este no caso específico do exemplo.

Passo 1

Letra a)

Vamos chamar o tempo de vida da nossa bateria de T , sabemos que:

T   ~   E x p ( λ )

E queremos calcular quem é esse parâmetro λ .

O item diz pra gente que 8% das baterias têm mais de 250 dias de vida útil, ou seja:

P T > 250 = 0,08

Usando a complementar:

P T ≤ 250 = 1 - 0,08 = 0,92

Opa, mas essa probabilidade é a mesma coisa que a FDA de T nesse ponto, concorda?

P T ≤ 250 = F ( 250 )

E na Exponencial, a FDA tem esse formato:

F x = 1 - e - λ x

Então temos que:

0,92 = 1 - e - λ 250

e - λ 250 = 0,08

l n e - λ 250 = l n 0,08

- λ 250 = - 2,5257

λ = 0,01

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E quem é esse λ exatamente? Vamos ver!

Sabemos que na Exponencial a esperança é dada por:

E X = 1 λ

Então nossa esperança é:

E T = 1 0,01 = 99   d i a s

Ou seja, o λ vai determinar o tempo de vida médio da nossa bateria. Podemos dizer que ele é o “fator desgastante” dela, e quanto maior ele for, menor será o tempo de vida útil da bateria.

Resposta

λ = 0,01

" F a t o r   d e s g a s t a n t e "   d a   b a t e r i a

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