Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

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Enunciado

Suponha que o tempo em horas gasto com o reparo de um determinado tipo de máquina que tenha apresentado defeito seja uma variável aleatória exponencial de taxa λ = 1 / 2 (ou seja, média de 2 horas).

a) Qual a probabilidade de que um reparo leve entre 2 e 3 horas para ser efetuado?

b) Suponha que esta máquina tenha defeito e esteja em reparo há 3 horas. Calcule a probabilidade de que, ao longo das duas horas seguintes, a máquina esteja em processo de reparo.

c) Considere que o reparo de cada máquina desse tipo acarreta um custo fixo de 1000 reais por máquina mais um custo variável por máquina de 500 reais/hora proporcional ao tempo em que máquina fique em reparo. Obtenha o valor esperado e o desvio padrão do custo total com reparos num mês em que 3 dessas máquinas apresentem falha, admitindo independência entre os tempos de reparo.

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Bora resolver uma questão de prova!

Para resolver esse problema, você deve conhecer a função densidade de probabilidade da distribuição exponencial:

f x = λ   e - λ x

O tempo de reparo segue uma variável desse tipo, de modo que a probabilidade de o tempo de reparo estar entre X = A e X = B é

P A ≤ X ≤ B = ∫ A B f x   d x

Com isso, para resolver o item (a), basta fazer

P 2 ≤ X ≤ 3 = ∫ 2 3 λ   e - λ   x   d x = λ   e - λ x - λ 2 3 = e - 2 λ - e - 3 λ

Como λ = 1 / 2 , temos que

P 2 ≤ X ≤ 3 = e - 1 - e - 1,5

Fazendo as contas com uma calculadora:

P 2 ≤ X ≤ 3 = 0,1447

Passo 2

Agora vamos para o item (b)! Ele basicamente quer saber a probabilidade de a máquina ficar em reparo por mais de 5 horas, dado que ela já ficou em reparo por mais de 3 . Para achar isso, usamos a expressão da probabilidade condicional:

P X ≥ 5   |   X ≥ 3 = P X ≥ 5     e     X ≥ 3 P X ≥ 3

Por outro lado, é fácil perceber que P X ≥ 5     e     X ≥ 3 = P X ≥ 5 , afinal se X ≥ 5 , X também será maior que 3 . Portanto,

P X ≥ 5   |   X ≥ 3 = P X ≥ 5 P X ≥ 3

Para achar a probabilidade do numerador:

P X ≥ 5 = ∫ 5 ∞ λ   e - λ   x   d x = λ   e - λ x - λ 5 ∞

Lembrando que lim x → ∞ ⁡ e - λ x = 0 , temos que

P X ≥ 5 = e - 5 λ

Da mesma forma,

P X ≥ 3 = e - 3 λ

Com isso,

P X ≥ 5   |   X ≥ 3 = P X ≥ 5 P X ≥ 3 = e - 5 λ e - 3 λ = e - 2 λ

Como λ = 1 / 2 , segue que

P X ≥ 5   |   X ≥ 3 = e - 1 = 0,3678

Passo 3

Para resolver o item (c), vamos escrever primeiro a expressão do custo em função dos tempos de reparo X 1 , X 2 e X 3 de cada máquina:

C = 1000 + 500 X 1 + 1000 + 500 X 2 + 1000 + 500 X 3

Lembre-se que o custo fixo para cada máquina é 1000 reais e o custo variável por hora de reparo é 500 reais. Desta forma, achamos

C = 3000 + 500 ⋅ X 1 + X 2 + X 3

O valor esperado de C é

E C = E 3000 + 500 ⋅ X 1 + X 2 + X 3 = 3000 + 500   E X 1 + X 2 + X 3

Lembre-se que

E A + B = E A + E B

E k A = k   E A ,             k     f o r     c o n s t a n t e

Observe também que

E X 1 + X 2 + X 3 = E X 1 + E X 2 + E X 3

Como X 1 , X 2 e X 3 seguem a mesma distribuição, temos que

E X 1 = E X 2 = E X 3 = E X → E X 1 + X 2 + X 3 = 3   E X

E aqui vem o pulo do gato: o valor esperado da distribuição exponencial é 1 / λ , de modo que

E X = 1 λ = 2

Portanto,

E C = 3000 + 500 ⋅ 3 ⋅ 2

Ou ainda,

E C = 6000   r e a i s

Passo 4

Para achar a variância, o caminho é parecido, mas temos que tomar uns cuidados extras:

V a r C = V a r 3000 + V a r 500   X 1 + X 2 + X 3

Como V a r 3000 = 0 , segue que

V a r C = V a r 500   X 1 + V a r 500   X 2 + V a r 500   X 3 = 3   V a r 500   X

Aqui você precisa tomar muito cuidado: você não pode só tirar o 500 para fora como fizemos no passo 3 para o valor esperado. Temos que usar a seguinte propriedade:

V a r k   A = k 2   V a r A ,             k     f o r     c o n s t a n t e

Portanto,

V a r C = 3 ⋅ 500 2   V a r X

Na distribuição exponencial, a variância é

V a r X = 1 λ 2 = 4

Portanto,

V a r C = 3 ⋅ 500 2 ⋅ 4

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

D P C = 3 ⋅ 500 2 ⋅ 4

Logo,

D P C = 1732,05   r e a i s

Com isso terminamos o problema!

Resposta

P 2 ≤ X ≤ 3 = e - 1 - e - 1,5 = 0,1447

P X ≥ 5   |   X ≥ 3 = e - 1 = 0,3678

E C = 6000   r e a i s

D P C = 1732,05   r e a i s

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Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:P ( X = 5 )
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:P ( X = 5 ) P ( 4X6 ) P ( 2 = X5 )
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:(d) P (X = 7,X2) .
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:(c) P ( 2 = X5 )