Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

Distribuição Exponencial

O tempo (em horas) necessário para reparar uma máquina é uma variável aleatória T 1   Exponencialmente distribuída com parâmetro λ   =   1 2 .

(a) Deduza, usando integração, a Função de Distribuição Acumulada(FDA) da v.a. T 1 ∼ Exponencial(λ). Calcule a probabilidade de um tempo de reparo exceder a 1 hora.

Passo 1

Letra a)

Deduzir??? Siiim, aqui só precisamos lembrar que a integral da função de densidade é a função de distribuição acumulada (FDA)! Mas qual a função de densidade da nossa v.a. T 1 ? Sabemos que:

T 1   ~   E x p o n e n c i a l ( λ )

E também sabemos que, lááá da teoria, a cara de uma função de densidade da Exponencial é:

f x =   0 ,                           s e   x < 0   λ e - λ x ,         s e   x ≥ 0

Como nosso λ = 1 2 , nossa função de densidade fica:

f x =   0 ,                           s e   x < 0   1 2 e - 1 2 x ,         s e   x ≥ 0

E agora pra calcular nossa FDA, ou F x ,   basta fazermos a integral de f ( t ) , indo de menos infinito até x ! Lembrando que f ( t ) é simplesmente nossa f ( x ) com t ’s no lugar dos x ’s:

∫ - ∞ x f t d t = ∫ - ∞ 0 0 d t + ∫ 0 x 1 2 e - 1 2 t d t = F ( x )

Essa primeira integral dá zero! Mas na segunda, Vamos ter que fazer uma substituição simples:

- 1 2 t = u

d t = - 2 d u

Substituindo, nossa integral fica:

∫ 1 2 e u - 2 d u = - e u

c o m o   u = - 1 2 t   ⇒ r e s u b s t i t u i n d o - e - 1 2 t

Agora aplicando os nossos limites de integração nesse resultado:

- e - 1 2 t x 0 = - e - x 2 - - e - 0 2 = 1 - e - x 2

E aí está nossa FDA!

F x = 1 - e - x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas nessa letra a) a questão também tá pedindo pra gente calculara probabilidade do tempo de reparo exceder uma hora, ou seja, P T 1 > 1 . Lembrando da definição de probabilidade complementar, sabemos que:

P T 1 > 1 = 1 - P ( T 1 ≤ 1 )

E P ( T 1 ≤ 1 ) é a probabilidade de T 1 assumir todos os valores de probabilidade até o valor 1, ou seja, a probabilidade acumulada até 1! Vamos usar nossa FDA então:

P T 1 ≤ 1 = F ( 1 )

P T 1 > 1 = 1 - F ( 1 )

P T 1 > 1 = 1 - 1 - e - 1 2 = e - 1 2 = 0,607

Resposta

Letra a)

F x = 1 - e - x 2

0,607

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