Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

Distribuição Exponencial

Suponha que o tempo de vida de uma bateria de um determinado fabricante seja modelado por uma variável aleatória exponencial.

  1. Suponha que o tempo médio de vida útil de uma outra bateria sendo testada seja igual a 100 dias. Suponha que para detectar um determinado problema com esta bateria seja preciso observá-la por um período de pelo menos 260 dias. Assim sendo, vamos retirar uma amostra aleatória contendo 170 baterias e observar o comportamento delas nos próximos 260 dias (em funcionamento ou com defeito). Qual o valor esperado do número de baterias que encontraremos com defeito após os 260 dias? Explique os passos e os modelos probabilísticos utilizados no seu cálculo.

Passo 1

Letra b)

T :   T e m p o   d e   v i d a   d a   b a t e r i a

T   ~   E x p ( λ )

Se o tempo médio de vida útil é 100 dias:

E T = 1 λ = 100 → λ = 0,01

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos analisar a probabilidade de uma bateria dar defeito em menos de 260, ou seja, seu tempo de vida durar menos que isso:

P ( T < 260 )

E isso aí que a gente escreveu nada mais é que a FDA de T até o ponto 260:

P T < 260 = F ( 260 )

Conhecemos a cara da FDA para distribuições Exponenciais, que é essa aqui:

F x = 1 - e - λ x

Então temos que:

P T < 260 = 1 - e - 0,01 × 260 = 0,9257

Passo 3

Agora vem o pulo do gato!

Vamos criar uma nova v.a.:

N :   n º   d e   b a t e r i a s   c o m   d e f e i t o   a n t e s   d e   260   d i a s

E vamos considerar que toda vez que uma bateria tem defeito antes desse tempo, temos um sucesso.

E nós acabamos de calcular a probabilidade de uma bateria dar defeito antes de 260 dias, ou seja, um sucesso! Então temos uma probabilidade p de sucesso:

p = 0,9257

Tá sentindo cheirinho de Binomial??? Porque eu to! Nossa v.a. N vai seguir então uma Binomial, com 170 repetições (já que temos 170 baterias!) e probabilidade de sucesso 0 , 9257 :

N   ~   B i n ( 170   ; 0,9257 )

E nós queremos calcular o valor esperado do número de baterias com defeitos, ou seja, a esperança de N ! Que na Binomial, é dada pela fórmula:

E X = n p

Então pro nosso caso:

E N = 170 × 0,9257 = 157   b a t e r i a s

A dica aqui tá no “Qual o valor esperado do número de baterias que encontraremos com defeito...”

O enunciado pediu isso pra gente!

E se falou em valor esperado, tá falando de esperança. E se tá falando de esperança, tem que ser em relação a uma variável. Qual variável? A que o próprio enunciado falou entre linhas pra gente: ���Qual o valor esperado do número de baterias que encontraremos com defeito...”! O que vier seguido de “o valor esperado de...” vai ser a própria v.a. que vamos ter que usar :D

Resposta

157   b a t e r i a s

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