Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

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Enunciado

A experiência indica que a vida remanescente de um dispositivo não é afetada pelo tempo de vida anterior e segue uma distribuição exponencial. De um lote de 100   dispositivos idênticos, observa-se que 100 1   -   e - 0,5 destes falham antes de 1000 h   . Selecionam-se aleatoriamente 4   dispositivos de um outro lote de dispositivos idênticos. Qual a probabilidade dos 4   dispositivos durarem mais de 500 h   ?

Passo 1

Fala pessoal, Tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Dessa vez envolvendo distribuições exponenciais. Essa questão é bem malandra. Pois precisamos fazer uma inferência na hora de trabalharmos com a distribuição exponencial.

O que sabemos do enunciado?

Sabemos que de 100     dispositivos 100 1   -   e - 0,5 falham antes de 1000 h    

Queremos saber a probabilidade de 4     de um outro lote durarem mais de que 500 h    

Passo 2

Como nosso tempo de vida remanescente segue uma distribuição exponencial. Vocês lembram a definição? Vamos relembrar!!

Se X   ∼ exp ⁡ λ então:

P X ≤ x   =   1   -   e - x λ

e pela probabilidade do evento complementar

P X > x   =   1   -   P X ≤ x

  =   e - x λ

Passo 3

Seja X   o tempo de vida remanescente. Sabemos que X   tem uma distribuição exponencial. Mas não sabemos quem é seu parâmetro λ . Como será que vamos calcular isso? Tem alguma idéia? Vamos pensar um pouco!!

Bem a probabilidade de um evento pode ser aproximada pelo seguinte processo:

Pegamos a quantidade de casos favoráveis do evento de interesse e dividimos pelo total de casos. Que é como estimamos a probabilidade de uma moeda usando a nossa intuição.

Temos ao todo 100   dispositivos, dos quais 100 1   -   e - 0,5 param antes de 1000 h       . Então

usando a aproximação descrita acima podemos obter a P X < 1000

P X < 1000   =   100 1 - e - 0.5 100

=   1   -   e - 0,5

Agora que sabemos que é a nossa probabilidade, podemos calcular λ

P X < 1000   =   1 - e - 1000 ⋅ λ (pois X   tem dist exponencial)

⇒   1   -   e - 0,5   =   1 - e - 1000 λ

⇒ - 1000 λ   =   - 0.5  

⇒ λ   =   0.5 1000

Conseguimos calcular nosso parâmetro!!!

Com isso temos que X ∼ exp ⁡ 0.5 1000

Passo 4

Agora que descobrimos quem é o nosso parâmetro, podemos calcular a probabilidade de 4   desses dispositivos durarem mais de 500 h   .

Utilizando as equações que revisamos no passo 2. Temos que a probabilidade de UM dispositivo durar mais de 500 h   é dada por:

P X > 500   =   e - 500 ⋅ 0.5 1000

Então, pela independência entre os dispositivos, a probabilidade de QUATRO dispositivos durarem mais de 500 h     é:

P X > 500 4   =   e - 500 ⋅ 0.5 1000 4

=   e - 1

Terminamos mais uma questão! Espero que os passos tenham ficado claros. Bons estudos e até a próxima pessoal!!! 😊

Resposta

e - 1

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Suponha que a variável aleatória tenha valores possíveis, 1, 2, 3, .. e que P X = r = k 1 - β r - 1,0β1 Determine a constante k e ache a moda desta distribuição.
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:P ( X = 5 )
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:P ( X = 5 ) P ( 4X6 ) P ( 2 = X5 )
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:(d) P (X = 7,X2) .
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:(c) P ( 2 = X5 )