Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

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Enunciado

01) O intervalo de tempo em minutos entre emissões consecutivas de uma fonte radioativa é uma variável aleatória exponencial com parâmetro λ = 0,4 emissões/min. Dado que o intervalo de tempo para que ocorra a emissão de uma partícula é superior a 5 min, qual é a probabilidade desse intervalo ser superior a 7   minutos?

a) 1 - e - 2,8

b) 1 - e - 2  

c) e - 0,8

d) 1 - e - 0,8

e) e - 2,8

Passo 1

Faaaala galera, tudo certinho com vocês?

Nessa questão temos uma fonte radioativa que realiza emissões consecutivas, o intervalo de tempo, t , entre essas emissões é uma variável aleatória com distribuição exponencial de λ = 0,4 . O nosso objetivo é calcular uma probabilidade condicional: a probabilidade de t > 7 min, dado que t já é maior do que 5 minutos. Sacaram?! Mas como podemos calcular isso?

Pra calcular uma probabilidade condicional como essa, podemos fazer:

P t > 7 t > 5 ) = P t > 7 P t > 5

Massa! Nosso trabalho se resume então a calcular P ( t > 7 ) e P ( t > 5 ) . Então, como temos uma V.A que segue distribuição exponencial, bora revisar a função de distribuição acumulada, FDA, dela.

F x =   0 ,       s e   t ≤ 0 1 - e - λ t ,       s e   t > 0

Muito bom, galera! Começamos bem!

Passo 2

Agora precisamos calcular as probabilidades usando a nossa FDA. Lembra como faz isso?

Basicamente, é só usar que:

P t ≤ a = F ( a )

Puts, queremos calcular a probabilidade de t ser maior do que um certo valor, e aí, o que a gente faz?

Calma gente, é só usar a ideia da complementaridade das propriedades. Lembra que:

P t ≤ a + P t > a = 1

Logo:

P t > a = 1 - P ( t ≤ a )

⇒ P t > a = 1 - F ( a )

Que show né?! Daí, lembrando que λ = 0,4 , vamos ter:

P t > 5 = 1 - F 5

∴ P t > 5 = 1 - 1 - e - 0,4 ⋅ 5

P t > 5 = e - 2

Analogamente:

P t > 7 = 1 - F 7

P t > 7 = 1 - 1 - e - 0,4 ⋅ 7

P t > 7 = e - 2,8

Bouaaa!

Passo 3

Já tamo com a faca e o queijo na mão, é só fazer o sanduíche!

Como:

P t > 7 t > 5 ) = P t > 7 P t > 5

Usando os dados do passo anterior, vem:

P t > 7 t > 5 ) = e - 2,8 e - 2

⇒ P t > 7 t > 5 = e - 2,8 - - 2

Portanto, pra finalizar mais uma questãozitaaa:

P t > 7 t > 5 = e - 0,8

Aeee, é isso aí pessoal! Espero que vocês tenham entendido direitinho.

Até a próxima 😊

Resposta

Letra C: e - 0,8 .

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Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:P ( X = 5 )
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:P ( X = 5 ) P ( 4X6 ) P ( 2 = X5 )
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:(d) P (X = 7,X2) .
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:(c) P ( 2 = X5 )