Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

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Numa linha de produção o número de peças defeituosas em 1 dia de operação da fábrica pode ser modelado por uma distribuição de Poisson com taxa média de ocorrência de 6 peças defeituosas por dia.

(a) Seja T o intervalo de tempo, em dias, entre duas ocorrências sucessivas da fabricação de itens defeituosos. Forneça a expressão matemática da função de densidade de T . Deduza através de integração a expressão matemática da função de distribuição acumulada de T .

(b) Qual a probabilidade de que T esteja entre 8 e 12 horas?

(c) Determine a amplitude de um intervalo de tempo para que a probabilidade de nenhuma peça defeituosa ser produzida ao longo dele seja de 90%.

Passo 1

a)

Vamos representar o número de peças defeituosas por X . Sabemos que: X ~ P o i s s o n

Aqui temos que lembrar daquela relação entre a Poisson e a Exponencial! Sempre que temos uma v.a. X que siga uma distribuição Poisson, o intervalo de tempo entre duas ocorrências consecutivas da Poisson pode ser modelado por uma v.a. Exponencial!

E a v.a. T do enunciado é justamente isso, né? Ela representa o intervalo de tempo, em dias, entre duas ocorrências sucessivas da fabricação de itens defeituosos (que, como foi dito, segue uma Poisson), então:

T ~ E x p o n e n c i a l ( λ )

Show, mas quem vai ser nosso parâmetro λ ? Ele é justamente a média (ou esperança) da nossa v.a. que segue uma Poisson! E a taxa média de peças defeituosas é dada no enunciado:

E X = 6

Então:

λ = 6

Logo nossa v.a. T com parâmetro fica:

T ~ E x p o n e n c i a l ( 6 )

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Passo 2

Para a função de densidade, basta lembrarmos a fórmula da densidade da Exponencial (ou ver no formulário, porque ninguém é de ferro, não é mesmo?):

f t = λ e - λ t ,       p a r a   t ≥ 0

Lembrando que a Exponencial só existe para valores da v.a. iguais ou maiores a zero! Como λ = 6 :

f t = 6 e - 6 t ,       p a r a   t ≥ 0

Agora para deduzir por integração a função de distribuição acumulada F ( t ) , temos que lembrar que ela é a integral da função de densidade! O enunciado dá até o bizu pra gente. Mas a integral vai de onde até onde mesmo? Começa no zero e vai até a própria v.a., ou seja, até t :

F t = ∫ 0 t f t d t

Eita, vamos integrar em função de t tendo um t no limite de integração? Confuso, né? Para não confundir a nossa vida, vamos reescrever a função de densidade com x no lugar de t e agora integrar em função de x . Assim ó:

F t = ∫ 0 t 6 e - 6 x d x

Pra integrar isso aí, vamos ter que fazer uma substituição simples. Desse jeito:

u = - 6 x

d u = - 6 d x

- d u = 6 d x

A integral substituída fica:

∫ - e u d u = - e u

Como u = - 6 x :

- e u = - e - 6 x

Lembrando dos limites de integração iniciais:

- e - 6 x 0 t = - e - 6 t - - e - 6 × 0 = - e - 6 t - - 1 = 1 - e - 6 t

Entããão, esse resultado aí é nossa FDA, lembrando que para sempre t ≥ 0 :

F t = 1 - e - 6 t ,     t ≥ 0

Passo 3

b)

Agora temos que calcular a probabilidade de T estar entre 8 e 12 HORAS. Opa! Aqui temos que ter muita atenção. Nosso parâmeto é em DIAS, temos que passar esse 8 horas e 12 horas para dias então, e ficar com as unidades certinhas:

8   h o r a s = 8 24   d i a s = 1 3   d i a s

12   h o r a s = 12 24   d i a s = 1 2   d i a s

Então a probabilidade que queremos é de T estar entre esses valores:

P 1 3 < T < 1 2

Podemos calcular isso aí integrando a função de densidade nesse intervalo ou pela função de distribuição acumulada. Vamos usar ela aqui. Para isso, vamos lembrar primeiro o que é a FDA:

F t = P ( T < t )

Então temos que colocar nossa probabilidade nesse formato. Sabemos que:

P 1 3 < T < 1 2 = P T < 1 2 - P T < 1 3

Pronto! Essas duas aí podem ser calculadas pela FDA:

P 1 3 < T < 1 2 = P T < 1 2 - P T < 1 3 = F 1 2 - F 1 3

= 1 - e - 6 × 1 2 - 1 - e - 6 × 1 3 = - e - 3 + e - 2 = - 0,050 + 0,135 = 0,085

P 1 3 < T < 1 2 = 0,085

Passo 4

c)

Queremos descobrir a amplitude de um certo intervalo de tempo que garanta 90% de chance de nenhuma peça produzida ser defeituosa. Vamos chamar esse intervalo de t .

Sabemos que a probabilidade de nenhuma peça defeituosa ser produzida é:

P X = 0 ,   d e n t r o   d o   i n t e r v a l o   ( 0 , t )

Agora temos que lembrar lááá do bizu que falamos na teoria. Falar que nenhuma peça defeituosa vai ser produzida em ( 0 , t ) , também significa que o intervalo de tempo entre a produção de peças produzidas (ou seja, nossa v.a. T ) deve ser maior que t . Ou seja, a produção da peça defeituosa tem que acontecer depois do nosso intervalo t acabar! Então:

P X = 0 = P ( T > t )

Sabemos que essa probabilidade tem que ser de 90% e precisamos descobrir o valor de t :

P T > t = 0,90

Usando o conceito de FDA e de probabilidade complementar, temos que:

F t = P T < t = 1 - P ( T > t )

Então:

P T > t = 1 - F ( t )

Igualando isso aí ao 0,90 :

1 - F t = 0,90

Substituindo a expressão da FDA que já calculamos:

1 - 1 - e - 6 t = 0,90

e - 6 t = 0,90

Aplicando logaritmo dos dois lados:

- 6 t ln ⁡ e = ln ⁡ 0,90

t = ln ⁡ 0,90 - 6 ≈ 0,0176   d i a s

Não podemos esquecer que nossa distribuição tá sendo toda descrita em dias! Para ficar mais bonitinho, vamos dar a quantidade equivalente em minutos:

0,0176   d i a s → 0,0176 × 24 ≈ 0,42   h o r a s

0,42   h o r a s → 0,42 × 60 ≈ 25   m i n u t o s

Resposta

a) f t = 6 e - 6 t ,       p a r a   t ≥ 0

F t = 1 - e - 6 t ,     t ≥ 0

b)

0,085

c)

25   m i n u t o s

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