Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

Distribuição Exponencial

Em uma grande rede corporativa de computadores, o intervalo de tempo entre duas conexões consecutivas ao sistema pode ser modelada por uma variável aleatória do tipo exponencial. Sabe-se que em média, chegam 40 conexões por hora. Pergunta-se:

  1. Qual a probabilidade de que o intervalo entre as conexões seja superior a 6 minutos?
  2. Qual a probabilidade de que o intervalo entre as conexões esteja entre 3 e 4 minutos?
  3. Determine o intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhuma conexão ocorrer neste intervalo seja igual a 0,9. Lembre-se de que a distribuição se refere ao intervalo de tempo entre duas conexões sucessivas.

Observação:

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

Passo 1

Vamos denotar nosso intervalo de tempo entre duas conexões consecutivas por uma v.a. T . Sabemos que:

T   ~   E x p ( λ )

E na exponencial, a média é dada por:

E X = 1 λ

E o enunciado fala que a média de T é 40. Então:

40 = 1 λ → λ = 0,025

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a)

Queremos:

P ( T > 6 )

Que é a mesma coisa que dizer:

P T > 6 = 1 - P ( T < 6 )

Hmmm, essa probabilidade desse jeitinho com o sinal < me dá uma vontade de usar a FDA de T , já que:

P X < x = F ( x )

E na exponencial, a FDA é dada por:

F x = 1 - e - λ x

Então:

P T > 6 = 1 - P T < 6 = 1 - F 6 = 1 - ( 1 - e - 0,025 × 6 )

P T > 6 = 0,8607

Passo 3

b)

Agora ele tá pedindo:

P ( 3 < T < 4 )

Que é a mesma coisa que:

P 3 < T < 4 = P T < 4 - P ( T < 3 )

Usando a FDA de novo:

P 3 < T < 4 = F 4 - F 3 = 1 - e - 0,025 × 4 - 1 - e - 0,025 × 3 = 0,0670

Passo 4

c)

A gente tava trabalhando com o intervalo de tempo entre acontecimentos (as conexões), e agora a questão tá perguntando sobre a ocorrência desses acontecimentos: Relação Exponencial-Poisson!

Vamos chamar de X o número de conexões em um certo intervalo de tempo. Sabemos que:

X   ~   P o i s s o n ( λ t )

Onde λ - 0,025 como já vimos e t é o intervalo de tempo analisado.

O item tá pedindo o intervalo de tempo t que temos que analisar para que com, 90% de chance, não ocorra nenhuma conexão. Então queremos que:

P X = 0 = 0,9

Usando a fórmula pro cálculo de probabilidade da Poisson:

P X = 0 = e - 0,025 t ( 0,025 t ) 0 0 ! = 0,9

e - 0,025 t = 0,9

- 0,025 t = l n 0,9

t = 4,2144   m i n u t o s

Resposta

Letra a)

0,8607

Letra b)

0,0670

Letra c)

4,2144   m i n u t o s

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas