Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

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Enunciado

Em uma grande rede corporativa de computadores, o intervalo de tempo entre duas conexões consecutivas ao sistema pode ser modelada por uma variável aleatória do tipo exponencial. Sabe-se que em média, chegam 40 conexões por hora. Pergunta-se:

  1. Qual a probabilidade de que o intervalo entre as conexões seja superior a 6 minutos?
  2. Qual a probabilidade de que o intervalo entre as conexões esteja entre 3 e 4 minutos?
  3. Determine o intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhuma conexão ocorrer neste intervalo seja igual a 0,9. Lembre-se de que a distribuição se refere ao intervalo de tempo entre duas conexões sucessivas.

Observação:

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

Passo 1

Vamos denotar nosso intervalo de tempo entre duas conexões consecutivas por uma v.a. T . Sabemos que:

T   ~   E x p ( λ )

E na exponencial, a média é dada por:

E X = 1 λ

E o enunciado nos diz que chega são feitas em média, 40 conexões por hora. Portanto, o tempo médio de espera entre conexões é:

E T = 60 m i n 40 = 1,5   m i n

Ou seja, leva-se em média 1,5 m i n entre conexões.

1,5 = 1 λ → λ = 0 , 667

Passo 2

a)

Queremos:

P ( T > 6 )

Que é a mesma coisa que dizer:

P T > 6 = 1 - P ( T < 6 )

Hmmm, essa probabilidade desse jeitinho com o sinal < me dá uma vontade de usar a FDA de T , já que:

P X < x = F ( x )

E na exponencial, a FDA é dada por:

F x = 1 - e - λ x

Então:

P T > 6 = 1 - P T < 6 = 1 - F 6 = 1 - ( 1 - e - 0 , 667 × 6 )

P T > 6 = 0 , 0183

Passo 3

b)

Agora ele tá pedindo:

P ( 3 < T < 4 )

Que é a mesma coisa que:

P 3 < T < 4 = P T < 4 - P ( T < 3 )

Usando a FDA de novo:

P 3 < T < 4 = F 4 - F 3 = 1 - e - 0 , 667 × 4 - 1 - e - 0,667 × 3 =

= - e - 0,667 × 4 + e - 0,667 × 3 =

= 0,0 658

Passo 4

c)

A gente tava trabalhando com o intervalo de tempo entre acontecimentos (as conexões), e agora a questão tá perguntando sobre a ocorrência desses acontecimentos: Relação Exponencial-Poisson!

Vamos chamar de X o número de conexões em um certo intervalo de tempo. Sabemos que:

X   ~   P o i s s o n ( λ t )

Onde λ - 0 , 667 como já vimos e t é o intervalo de tempo analisado.

O item tá pedindo o intervalo de tempo t que temos que analisar para que com, 90% de chance, não ocorra nenhuma conexão. Então queremos que:

P X = 0 = 0,9

Usando a fórmula pro cálculo de probabilidade da Poisson:

P X = 0 = e - 0 , 667 t ( 0 , 667 t ) 0 0 ! = 0,9

e - 0 , 667 t = 0,9

- 0 , 667 t = l n 0,9

t = 0,158   m i n u t o s

Resposta

Letra a)

0 , 0183

Letra b)

0,0 658

Letra c)

0,158   m i n u t o s

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Suponha que a variável aleatória tenha valores possíveis, 1, 2, 3, .. e que P X = r = k 1 - β r - 1,0β1 Determine a constante k e ache a moda desta distribuição.
Seja X ~ E x p 1 10 , calcule:(d) P X ≤ 7 X2 .
Seja X ~ E x p 1 10 , calcule: P ( X ≤ 5 )
Seja X ~ E x p 1 10 , calcule: P ( X ≤ 5 ) P ( 4X6 ) P ( 2 ≤ X5 )
Seja X ~ E x p 1 10 , calcule:(c) P ( 2 ≤ X5 )