Exercícios Resolvidos de Função Modular

Elaboração Própria

Construir o gráfico da função definida em R por:

f x = x + 2 - 2 x - 2

Passo 1

Bom para fazer o gráfico de uma função modular a primeira coisa que temos que fazer é fazer aqueles módulos pela definição, e depois vamos somar os pedaços das funções.

Assim

x + 2 = x + 2 s e x + 2 0 - x + 2 s e x + 2 < 0

x + 2 = x + 2 s e x - 2 - x - 2 s e x < - 2

A outra parte vai ficar

2 x - 2 = 2 x - 2 s e 2 x - 2 0 - 2 x - 2 s e 2 x - 2 < 0

2 x - 2 = 2 x - 2 s e x 1 - 2 x + 2 s e x < 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é só jogar isso de volta na fórmula da função para fazermos isso direitinho. Antes disso, vamos entender os intervalos que apareceram. Vamos ter 3 partes, uma menor que - 2 , outra entre - 2 e 1 e outra maior que 1 .

x < - 2 - 2 x < 1 x 1

A nossa função vai ser

f x = ? ? s e x < - 2 ? ? s e - 2 x < 1 ? ? s e x 1

Temos que ir vendo como é cada função daquelas do módulo nos intervalos, vamos olhar uma coisa de cada vez

Começando com x < - 2 , aqui vamos ter, olhando a definição de módulo

x + 2 = - x - 2

2 x - 2 = - 2 x + 2

Vamos ter, para x < - 2

f x = - x - 2 - - 2 x + 2

f x = - x - 2 + 2 x - 2

f x = x - 4

Passo 3

agora com - 2 x < 1 , aqui vamos ter, olhando a definição de módulo

x + 2 = x + 2

2 x - 2 = - 2 x + 2

Vamos ter, para o nosso intervalo

f x = x + 2 - - 2 x + 2

f x = x + 2 + 2 x - 2

f x = 3 x

Passo 4

Vamos para x 1 , aqui vamos ter, olhando a definição de módulo

x + 2 = x + 2

2 x - 2 = 2 x - 2

Vamos ter, para o nosso intervalo

f x = x + 2 - 2 x - 2

f x = x + 2 - 2 x + 2

f x = - x + 4

Passo 5

Agora que vimos as partes, vamos escrever a nossa função

f x = x - 4 s e x < - 2 3 x s e - 2 x < 1 - x + 4 s e x 1

Temos 3 funções de primeiro grau aqui, que são retas, então vamos pegar dois pontos em cada intervalo para fazer o gráfico,

Primeiro com x < - 2

x = - 4 f - 2 = - 2 - 4 = - 6

x = - 3 f - 3 = - 3 - 4 = - 7

O gráfico dessa parte vai ficar

Lembra que temos que parar o gráfico em x = - 2 , mas o valor nesse ponto não entra na conta, por isso coloquei aquela bola aberta

Agora com - 2 x < 1

x = - 2 f - 2 = 3 - 2 = - 6

= x = 0 f 0 = 3 0 = 0

O gráfico dessa parte vai ficar

Lembrando que aqui temos que incluir o valor do extremo em x = - 2 , mas excluir a parte em x = 1

Para a última parte, onde x 1 , vamos ter

x = 1 f 1 = - 1 + 4 = 3

x = 2 f 2 = - 2 + 4 = 2

Agora é só desenhar tudo junto,

Essas “bolas fechadas”, como estão todas em cima da função mesmo, neste caso, não temos necessidade de deixar elas ali, se as funções não se juntassem nessa parte aí íamos precisar deixar, o gráfico fica

Resposta

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