Exercícios Resolvidos de Função Modular

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Enunciado

Nos exercícios 31 . a 46 . , esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível a paridade (par ou ímpar).

31. 2 - x 3 - x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma função e a questão pede vários comandos para a gente. Então vamos fazer cada um, não necessariamente na ordem pedida.

Começando pelo domínio, temos que lembrar que de algumas função possuem restrições:

- O denominador não pode ser zero.

- O argumento das raízes pares tem que ser maior ou igual a zero.

- O argumento da função logarítmica tem que ser maior que zero.

Como a nossa função é,

f x = 2 - x 3 - x

Ela não possui nenhuma restrição. Logo o domínio são todos os reais.

D = R

Agora que vimos que descobrimos o domínio, vamos partir para o gráfico.

Passo 2

Repara agora que a nossa função é o produto de um polinômio de primeiro grau com uma função modular. Então vamos ter que fazer essa multiplicação.

Mas antes de fazer as continhas vamos relembrar a definição de módulo? A definição de módulo é

g x = g x                   s e   x ≥ 0 - g x             s e   x < 0

Ou seja,

3 - x = 3 - x                   s e   3 - x ≥ 0 - 3 - x             s e   3 - x < 0

Podemos dar uma ajeitada e ficamos com

3 - x = 3 - x                   s e   x ≤   3 - 3 - x             s e   x > 3

Então repara que agora a nossa função terá um comportamento para x ≤ 3   e outro comportamento para x > 3 . Então vamos ter que esboçar o gráfico por partes.

Beleza?!

Passo 3

Começando por x ≤ 3 , ficamos com

f x = 2 - x 3 - x

f x = x 2 - 5 x + 6

Temos uma função do segundo grau, logo o gráfico é uma parabolo. Vamos então aplicar Bhaskara para descobrir as raízes,

x 1,2 = + 5 ± - 5 2 - 4 1 6 2 1 = + 5 ± 5 2

Agora para x > 3 , ficamos com

f x = 2 - x - 3 + x

f x = - x 2 + 5 x - 6

Temos uma função do segundo grau, logo o gráfico é uma parabolo. Vamos então aplicar Bhaskara para descobrir as raízes,

x 1,2 = - 5 ± 5 2 - 4 - 1 - 6 2 - 1 = + 5 ± 5 2

Note que as raízes são as mesmas. Então só temos que respeitas as concavidades para cima para a parte x ≤ 3 e para baixo para a parte x > 3 . Ficará assim:

Repara também que como a nossa função vai para ± ∞ , a imagem também será todos os reais. Além disso, como ela não possui simetria, temos que nossa função não é par, nem impar.

Resposta

D = R

I = R

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