Exercícios Resolvidos de Função Modular

Ver Teoria

Enunciado

Nos exercícios 31. a 46. Esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a paridade (par ou ímpar).

37. f x = -   3 - 2 x   s e   x < 3 2 2 x - 3     s e   x ≥ 3 2

Passo 1

Opa! Vamos começar avaliando o domínio dessa função

f x = -   3 - 2 x   s e   x < 3 2 2 x - 3     s e   x ≥ 3 2

Para fazer isso, vamos ver onde que essa função pode dar problema. Vamos começar com o valor da função quando temos   x < 3 / 2 . Nesse caso

f x =   - 3 - 2 x

Como temos uma raiz, vemos a restrição que os termos dentro da raiz não podem ser negativos

f x =   - 3 - 2 x → 3 - 2 x ≥ 0

Vamos resolver essa inequação

3 - 2 x ≥ 0 3 ≥ 2 x  

x ≤ 3 / 2

Então para essa função não ter problemas nessa parte, temos que ter x ≤ 3 / 2 . Só que como essa parte da função só tem essa cara ( - 3 - 2 x ) para valores de x < 3 / 2 . Qualquer valor de x nesse intervalo pode ser usado. Então, por enquanto não temos nenhuma restrição. Vamos para a segunda parte dessa função.Para x ≥ 3 / 2 temos

f x =   2 x - 3

A restrição da raiz quadrada nos dá que

2 x - 3 ≥ 0 → x ≥ 3 / 2

Então, para termos uma raiz quadrada de termos positivos, temos que ter x ≥ 3 / 2 , só que essa parte da função só tem essa cara para valores de x ≥ 3 / 2 e, de novo, não temos nenhuma restrição. Por isso, o nosso domínio é o conjunto de qualquer número presente nos reais, ou:

D o m f = { x   ∈ R }  

Passo 2

A imagem dessa função é só ver o que a gente tem como resposta quando pegamos os valores de x dentro do domínio. Bom, como o domínio é qualquer número real, temos que olhar a cara da nossa função

f x = -   3 - 2 x   s e   x < 3 2 2 x - 3     s e   x ≥ 3 2

Na primeira parte dela temos -   3 - 2 x qualquer valor de x   que a gente coloque nessa raiz ela vai nos dar um número maior que zero, mas por conta daquele sinal de menos antes da raiz temos

- 3 - 2 x <   0

Então para essa parte da função a nossa imagem vai ser

I m f = y ∈ R   y < 0 }

Falta agora olhar a outra parte f x = 2 x - 3   . Dentro do domínio e do intervalo em que essa função está definida temos

2 x - 3   ≥ 0

Nessa parte da função temos a imagem

I m f = y ∈ R   y ≥ 0 }

Agora a gente junta as imagens de cada parte e percebemos que se em uma a gente pega todos os valores da função que são negativos e na outra a gente pega todos os valores da função que são maiores ou iguais que zero, a imagem pode ser qualquer valor real: I m f = { y ∈ R }

Passo 3

Vamos agora ver como que é o comportamento do gráfico dessa função. Para fazer isso, vamos lembrar do gráfico de f x = x :

Vamos começar para valores x < 3 / 2 . Nesse caso, a função que a gente tem que desenhar é

f x =   - 3 - 2 x

A primeira coisa que a gente pode reparar é que, em relação à função que a gente conhece f x =   x , houve uma mudança no sinal de x isso nos diz que é como se o gráfico inicial fosse espelhado ao longo do eixo y . Assim, ó:

Beleza! Outra coisa que a gente percebe é que o nosso x tá multiplicado por 2 , isso só nos diz que os valores da nossa função vão aumentar um pouco

Bom, tudo que a gente fez foi pensando em x mas no nosso caso, a gente teria que ter uma transformação do tipo f x → f ( x + c ) que na prática é deslocar a função para a direita. Como temos 3 - 2 x o que a gente tem é que a função que a gente estava olhando - 2 x tem que ser deslocada para a direita. Para saber aonde fica o inicio dela a gente tem que ver aonde ela zera

3 - 2 x = 0 3 - 3 x = 0  

x = 3 2

Então a gente desloca a função para ela começar em x = 3 / 2 . Fica assim ó:

A última coisa que falta é que a nossa função é essa função que a gente acabou de construir o gráfico só que com um sinal de menos na frente - ( 3 - 2 x ) . Isso é uma transformação do tipo f x → - f ( x ) e é como se a gente espelhasse a função em relação ao eixo x . A gente tem então o gráfico para essa parte da função

Como essa função está definida em x < 3 / 2 . Ela deve ser aberta em x = 3 / 2 .

Passo 4

Agora vamos ver o gráfico da função para   x ≥ 3 / 2 . De novo, vamos pensar no gráfico de f x = x . A primeira diferença que a gente nota é que temos 2 x na raiz, ao invés de x só essa mudança representa um aumento no gráfico em relação ao gráfico de x :

Uma vez que a gente sabe mais ou menos como o gráfico de 2 x deve ser, vamos pensar em como vai ser o de 2 x - 3 . Isso é uma transformação do tipo f ( x - c ) que na prática é como se a gente deslocasse o gráfico de f ( x ) para a direita.

Como temos 2 x - 3 o que a gente tem é que a função que a gente estava olhando 2 x tem que ser deslocada para a direita. Para saber onde fica o início dela a gente tem que ver aonde ela zera

2 x - 3 = 0 2 x - 3 = 0 x = 3 2

Então o nosso gráfico fica deslocado para a direita, começando em x = 3 / 2 . Então, para x ≥ 3 / 2 , o gráfico de f ( x ) deve ter essa cara aqui:

Passo 5

Agora vamos pegar alguns valores das nossas funções e usar a cara das funções que a gente acabou de ver para construir um esboço um pouco mais preciso.

Para x < 3 / 2 : Sabemos que a função deve ser aberta em x = 3 / 2 e f x = 0 nesse ponto, então vamos pegar alguns valores a partir desse ponto:

Usando esses valores no plano cartesiano e a forma da função nessa parte do gráfico, temos:

Para x ≥ 3 / 2 : Vamos pegar alguns valores a partir desse ponto:

Usando esses valores no plano cartesiano, juntando com o gráfico da outra parte e usando a forma da função nessa parte do gráfico, temos:

Resposta

D o m f = { x   ∈ R }  

I m f = { y ∈ R }

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o domínio e esboce o gráfico da função: F x = 2 x + 1
Encontre o domínio e esboce o gráfico da função: g x = x x 2
1.45. Encontre o domínio e esboce o gráfico da função. G x = 3 x + | x | x
Esboce o gráfico:f (x) = |x + 1| - |x|
Esboce o gráfico:f (x) = ||x| - 1|