Exercícios Resolvidos de Função Modular

UFF, Cálculo IA-Lista 1, GMA, 2008-1, 44

Esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a paridade (par ou ímpar).

y = x 3 - 5 x 2 + 2 x + 8 x - 2

Passo 1

A única restrição da função é o denominador que não pode zerar:

x - 2 ≠ 0

⇒ x ≠ 2

Então o domínio é R - 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos primeiro dar uma melhorada nesse polinômio aí do numerador, porque trabalhar com grau 3 não é muito bacana.

Agora é lembrar aqueles macetes que vimos pra procurar raízes de polinômios. No caso temos:

x 3 - 5 x 2 + 2 x + 8

Queremos raízes na forma p / q , sendo que 1 (o coeficiente que multiplica x 3 ) é divisível por q e 8 é divisível por p .

Ou seja, q = ± 1 e p = ± 8 ,   ± 4 ,   ± 2 ,   ± 1 .

Assim, as potenciais raízes são p q = ± 8 ,   ± 4 ,   ± 2 ,   ± 1 .

Passo 3

Então vamos testar... A boa é começar pelos números menores que vão dar menos conta.

x = 1 :

x 3 - 5 x 2 + 2 x + 8 = 1 - 5 + 2 + 8 ≠ 0

x = - 1 :

x 3 - 5 x 2 + 2 x + 8 = - 1 - 5 - 2 + 8 = 0

Opa, então x = - 1 é uma raiz!

x = 2 :

x 3 - 5 x 2 + 2 x + 8 = 8 - 20 + 4 + 8 = 0

Mais uma raiz!

x = - 2 :

x 3 - 5 x 2 + 2 x + 8 = - 8 - 20 - 4 + 8 ≠ 0

x = 4 :

x 3 - 5 x 2 + 2 x + 8 = 64 - 80 + 8 + 8 = 0

Show, achamos a última raiz, já podemos parar por aqui. Concluímos que

x 3 - 5 x 2 + 2 x + 8 = x + 1 x - 2 x - 4

Passo 4

Mas na expressão da função aparece o módulo desse polinômio, então vamos ter que estudar o sinal dele. Os intervalos de interesse vão ser x < - 1 ,   x ∈ - 1 ,   2 ,   x ∈ 2 ,   4 e x > 4 .

Então vamos lá!

x < - 1 :

x + 1 < 0 x - 2 < 0 x - 4 < 0 ⇒ x + 1 x - 2 x - 4 < 0

- 1 < x < 2 :

x + 1 > 0 x - 2 < 0 x - 4 < 0 ⇒ x + 1 x - 2 x - 4 > 0

2 < x < 4 :

x + 1 > 0 x - 2 > 0 x - 4 < 0 ⇒ x + 1 x - 2 x - 4 < 0

x > 4 :

x + 1 > 0 x - 2 > 0 x - 4 > 0 ⇒ x + 1 x - 2 x - 4 > 0

Passo 5

Ou seja, temos x 3 - 5 x 2 + 2 x + 8 = x 3 - 5 x 2 + 2 x + 8 nos intervalos - 1 < x < 2 e x > 4 .

Por outro lado, x 3 - 5 x 2 + 2 x + 8 = - x 3 - 5 x 2 + 2 x + 8 nos intervalos x < - 1 e 2 < x < 4 .

E ainda temos que:

x 3 - 5 x 2 + 2 x + 8 x - 2 = x + 1 x - 2 x - 4 x - 2 = x + 1 x - 4

(Isso com x ≠ 2 , que já é uma condição do nosso domínio.)

Passo 6

A partir disso tudo podemos definir a expressão da função sem módulo:

y = - x + 1 x - 4 , x < - 1 x + 1 x - 4 , - 1 < x < 2 - x + 1 x - 4 , 2 < x < 4 x + 1 x - 4 , x > 4

Eita função indecisa, não para de mudar de sinal...!

Para x < - 1 e 2 < x < 4 ela é voltada pra baixo:

Para - 1 < x < 2 e x > 4 ela é voltada pra cima:

Passo 7

Juntando os dois, obtemos finalmente o gráfico desejado:

Repare que a imagem da função é todo o R , e que ela não é nem par nem ímpar.

Resposta

D o m = R - 2

I m g = R

Não é par nem ímpar

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