Exercícios Resolvidos de Função Modular

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Enunciado

Nos exercícios 31. a 46. Esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a paridade (par ou ímpar).

36. f x = x x - 2

Passo 1

Opa! Para fazer o gráfico de uma função com raiz par a primeira coisa que temos que fazer é descobrir o domínio dessa função. Uma raiz par não tem solução real se o valor dentro dessa raiz é negativo, então temos que ter

  f x = x x - 2 → x x - 2 ≥ 0

Para a igualdade temos as raízes

x = 0 x = 2

Agora vamos ver o que acontece com valores em torno dessas raízes. Se pegarmos valores de x > 2 temos

x > 2   x - 2 > 0  

Então x x - 2 > 0 . Agora, para valores de x entre 0 e 2, temos

0 < x < 2 x - 2 < 0

O produto desses caras tem que ser negativo x x - 2 < 0 . Então já sabemos que não podemos ter valores de x no intervalo 0 < x < 2 .

Falta só ver o que acontece com essa função quando x < 0 . Nesse caso temos

x < 0 x - 2 < 0

E aí o produto desses caras sempre vai ser positivo x x - 2 > 0 .

Juntando essas informações, e para garantirmos que f x   seja raiz de números positivos, temos o seguinte domínio:

D o m f =   x   ∈   R x ≥ 2   e   x ≤ 0 }

Passo 2

Agora que a gente sabe como é o domínio da nossa função vamos começar a avaliar a forma dessa função. Olha, primeiro a gente lembra da situação mais simples: uma função f x = x tem essa cara aqui

Então a gente imagina que nosso gráfico vai ter uma cara parecida com isso. A nossa diferença é que o argumento da raiz (quem está dentro da raiz) no nosso caso é a função

x x - 2 = x 2 - 2 x

Ora, é uma função do segundo grau então a gente espera que tenha alguma simetria envolvida! Se olharmos o gráfico dessa parábola a gente observa o seguinte:

Essa parábola tem um vértice em

x v =   - b 2 a =   - - 2 2 × 1 = 1

E sabemos que a parábola é simétrica em relação ao seu vértice. Isso quer dizer que ela é “espelhada” em relação a esse ponto. Tá! Mas o que isso tem a ver com a nossa função? Como nossa função é raiz dessa função do segundo grau que a gente acabou de estudar um pouquinho, nossa função também é simétrica em relação ao x = 1 , ou seja, tudo que acontece para x ≥ 1 a gente espelha para x ≤ 1 .

Passo 3

Como encontramos o domínio da nossa função

D o m f =   x   ∈   R x ≥ 2   e   x ≤ 0 }

Vamos pegar alguns valores de x e marcar seus pontos no plano cartesiano. Como a gente viu que tem uma simetria em relação a x = 1 , a gente só pega os valores de x a partir daí e depois a gente espelha esse gráfico.Peguei os seguintes valores, lembrando que a gente só pode pegar valores de x dentro do domínio:

Marcando esses pontos no plano cartesiano temos

Como a gente sabe a cara de um gráfico da função raiz quadrada, desenhamos então

E por conta da simetria da nossa função, vamos ter a mesma figura espelhada mas partindo de x = 0 . Com isso, temos

Resposta

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