Exercícios Resolvidos de Função Modular

Ver Teoria

Enunciado

Nos exercícios 31. a 46. Esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a paridade (par ou ímpar).

35. f x = 3 - x + | x - 1 |

Passo 1

Opa! Para fazer o gráfico de uma função modular a primeira coisa que temos que fazer é abrir aqueles módulos pela definição e depois vamos somar os pedaços das funções. 3 - x =     3 - x   s e   3 - x ≥ 0 - 3 - x   s e   3 - x < 0

3 - x =     3 - x   s e   x ≤ 3 x - 3   s e   x > 3

A outra parte fica

x - 1 =     x - 1   s e   x - 1 ≥ 0 - x - 1   s e   x - 1 < 0 x - 1 =     x - 1   s e   x ≥ 1 1 - x   s e   x < 1

Passo 2

Agora é só jogar isso de volta na fórmula da função para fazermos isso direitinho. Antes disso, vamos entender os intervalos que apareceram. Vamos ter esses três intervalos aqui:

x > 3

1 ≤ x ≤ 3   x ≤ 1  

Isso nos diz que a nossa função vai ter três partes:

f x =   ? ? s e     x < 1   ? ? s e   1 ≤ x ≤ 3 ? ?   s e   x > 3  

Nossa tarefa é usar esses intervalos nas definições dos módulos que a gente fez. Vamos começar com   x > 3 . Nesse caso a gente tem

  3 - x = x - 3   x - 1 = x - 1

Devolvendo esses resultados na nossa função temos

f x = x - 3 + x - 1 = x - 3 + x - 1 f x = 2 x - 4

Passo 3

Vamos ver o intervalo de   1 ≤ x ≤ 3 .   Nesse intervalo temos

3 - x = 3 - x     x - 1 = x - 1

Devolvendo esses resultados na nossa função temos

f x = 3 - x + x - 1 =     3 - x + x - 1 f x = 2

Passo 4

Vamos para   x < 1 . Olhando a definição do módulo temos

3 - x = 3 - x     x - 1 = 1 - x

Devolvendo esses resultados na nossa função temos

f x = 3 - x + 1 - x =     3 - x + 1 - x f x = 4 - 2 x  

Passo 5

Agora que temos o valor da função em todos os intervalos, a gente pode escrever

f x =   4 - 2 x     s e     x < 1   2     s e     1 ≤ x ≤ 3 2 x - 4     s e     x > 3  

Essa função possui uma função constante ( f x = 2 ) e 2 funções do primeiro grau, que são retas, então a gente precisa pegar dois pontos em cada intervalo para fazer o gráfico. Primeiro vamos olhar para x < 1 . Apesar de x não ser definido em x = 1   vamos usar esse valor para estimar o gráfico e outro valor pode ser x = 0 porque simplifica bastante:

  x = 1 → f 1 = 4 - 2 × 1 = 2 x = 0 → f 0 = 4 - 2 × 0 =   4

O gráfico dessa parte vai ficar

Agora, com 1 ≤ x ≤ 3 temos a função constante f x = 2 que vai ser uma reta horizontal em y   =   2 . Assim, ó:

Por fim, vamos ver o que acontece em x > 3 . Como é uma reta, temos que escolher dois pontos

x = 3 → f 3 = 2 × 3 - 4 = 2 x = 5 → f 5 = 2 × 5 - 4 = 6

Marcando esses pontos no gráfico temos o nosso gráfico completo:

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o domínio e esboce o gráfico da função: F x = 2 x + 1
Encontre o domínio e esboce o gráfico da função: g x = x x 2
1.45. Encontre o domínio e esboce o gráfico da função. G x = 3 x + | x | x
Esboce o gráfico:f (x) = |x + 1| - |x|
Esboce o gráfico:f (x) = ||x| - 1|