Exercícios Resolvidos de Função Modular

UFF, Cálculo IA-Lista 1, GMA, 2008-1, 43

Esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a paridade (par ou ímpar).

f x = x 2 - 4 x + 3 x - 1

Passo 1

Começando pelo domínio... A única restrição dessa função é o denominador, que não pode se anular:

x - 1 ≠ 0

⇒ x ≠ 1

Então o domínio de f é R - 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos entender melhor essa função analisando o sinal do numerador:

x 2 - 4 x + 3 = 0

x = 4 ± 4 2 - 4.1 . 3 2 = 2 ± 4 2 = 2 ± 1

⇒ x = 1     o u     x = 3

Passo 3

O gráfico de x 2 - 4 x + 3 é uma parábola voltada pra cima com zeros em 1 e 3 , então temos:

x 2 - 4 x + 3 < 0 ⇔ x ∈ 1 ,   3

x 2 - 4 x + 3 > 0   ⇔ x ∈ - ∞ ,   1 ∪ 3 ,   ∞

Passo 4

Agora já podemos definir f x sem módulo:

f x = - x 2 - 4 x + 3 x - 1 ,   x ∈ 1 ,   3 x 2 - 4 x + 3 x - 1 ,   x ∈ - ∞ ,   1 ∪ 3 ,   ∞

Passo 5

Na verdade a boa vai ser aproveitar o fato que 1 é uma raiz do numerador, e que tem aquele x - 1 no denominador. Vê se eu não tô viajando:

x 2 - 4 x + 3 = x - 1 x - 3

Certo? Então:

x 2 - 4 x + 3 x - 1 = x - 1 x - 3 x - 1 = x - 3

Isso dentro do nosso domínio, porque devemos ter x ≠ 1 .

Passo 6

Ou seja:

f x = - x + 3 ,   x ∈ 1 ,   3 x - 3 , x ∈ - ∞ ,   1 ∪ 3 ,   ∞

Pra x ∈ 1 ,   3 , a imagem de f x será ( 0,2 )

Para x ∈ - ∞ ,   1 , a imagem de f ( x ) é ( - ∞ ,   - 2 )

Para x ∈ [ 3 ,   ∞ ) , a imagem de f ( x ) é [ 0 ,   ∞ )

Assim dá pra ver que a imagem de f é R - - 2 ,   0 .

E esboçar vai ser tranquilo né?

Com o gráfico podemos confirmar que f não é nem par nem ímpar.

Resposta

D o m = R - 1

I m g = R - - 2 ,   0

Não é par nem ímpar

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