Exercícios Resolvidos de Função Modular

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Enunciado

Nos exercícios 31 . a 46 . , esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível a paridade (par ou ímpar).

34. f x = x 2 - x - 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma função e a questão pede vários comandos para a gente. Então vamos fazer cada um, não necessariamente na ordem pedida.

Começando pelo domínio, temos que lembrar que de algumas função possuem restrições:

- O denominador não pode ser zero.

- O argumento das raízes pares tem que ser maior ou igual a zero.

- O argumento da função logarítmica tem que ser maior que zero.

Como a nossa função é,

f x = x 2 - x - 2

Ela não possui nenhuma restrição. Logo o domínio são todos os reais.

D = R

Agora que vimos que descobrimos o domínio, vamos partir para o gráfico.

Passo 2

Para montar o nosso gráfico, vamos olhar para primeiro para parte que está dentro do módulo, que é uma função do segundo grau:

x 2 - x - 2 = 0

Opaaa! Temos uma função do segundo grau, logo o gráfico é uma parabola. Além disso, como o coeficiente que acompanha x 2 é positivo, temos que a nossa parábola é para cima.

Agora, vamos então aplicar Bhaskara para descobrir as raízes,

x 1,2 = + 1 ± - 1 2 - 4 1 - 2 2 = + 1 ± 9 2 = + 1 ± 3 2

Logo,

x 1 = - 1

x 2 = + 2

Ou seja, a nossa parábola corta o eixo x , nos pontos x = - 1 e x = + 2 . Deste modo, o gráfico ficará assim:

Mas ainda não paramos por aí, pois a nossa f x é o módulo dessa função.

Passo 3

Para entender como o módulo vai influenciar na cara dessa função, vamos olhar a sua definição:

g x = g x                   s e   x ≥ 0 - g x             s e   x < 0

Ou seja, idenpente do resultado da nossa g x , a nossa função módulo sempre dará um resultado positivo. Logo, para desenharmos o gráfico de f x , vamos espelhar a parte negativa em y   para parte positiva. Ficará assim:

Repara também que como a nossa função vai para terá menor valor em x = 0 , deste modo a imagem também será:

I = x ∈ R x ≥ 0

Além disso, como ela não possui simetria no eixo y = 0 , temos que nossa função não é par, nem impar.

Resposta

D = R

I = x ∈ R x ≥ 0

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