Exercícios Resolvidos de Função Modular

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Enunciado

Nos exercícios 31 . a 46 . , esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível a paridade (par ou ímpar).

32. f x = 3 - x | 3 - x |

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma função e a questão pede vários comandos para a gente. Então vamos fazer cada um, não necessariamente na ordem pedida.

Começando pelo domínio, temos que lembrar que de algumas função possuem restrições:

- O denominador não pode ser zero.

- O argumento das raízes pares tem que ser maior ou igual a zero.

- O argumento da função logarítmica tem que ser maior que zero.

Como a nossa função é,

f x = 3 - x | 3 - x |

Ela possui uma icognita no denominador. Como ele não pode ser zero, temos que descobrir qual restrição é essa,

3 - x = 0

x = 3

Ou seja, o nosso domínio será,

D = x ∈ R x ≠ 3

Agora que vimos que descobrimos o domínio, vamos partir para o gráfico.

Passo 2

Repara agora que a nossa função é o divisão um polinômio de primeiro grau com uma função modular. Então vamos ter que fazer essa multiplicação.

Mas antes de fazer as continhas vamos relembrar a definição de módulo? A definição de módulo é

g x = g x                   s e   x ≥ 0 - g x             s e   x < 0

Ou seja,

3 - x = 3 - x                   s e   3 - x ≥ 0 - 3 - x             s e   3 - x < 0

Podemos dar uma ajeitada e ficamos com

3 - x = 3 - x                   s e   x ≤   3 - 3 - x             s e   x > 3

Então repara que agora a nossa função terá um comportamento para x ≤ 3   e outro comportamento para x > 3 . Então vamos ter que esboçar o gráfico por partes.

Beleza?!

Passo 3

Começando por x ≤ 3 , ficamos com

f x = 3 - x 3 - x

f x = 1

Agora para x > 3 , ficamos com

f x = 3 - x - 3 - x

f x = - 1

Ou seja, nosso gráfico será duas retas, assim:

Repara também que como a nossa função são duas retas, a imagem também será apenas y = - 1 e y = + 1 . Além disso, como ela não possui simetria, temos que nossa função não é par, nem impar.

Resposta

D = x ∈ R x ≠ 3

I = - 1   e + 1

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