Exercícios Resolvidos de Introdução a Conjuntos

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Enunciado

10. Qual é o conjunto imagem da função f x = x 2 + 1 + 1 ?

  1. 0 , ∞
  2. 0 , ∞
  3. R
  4. 2 , ∞
  5. 2 , ∞

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós precisamos indicar o conjunto imagem, mas antes disso temos que ver qual o domínio da função!

Note que temos uma raiz par, ou seja, temos uma restrição: o argumento da raíz deve ser maior ou igual a zero. Ou seja,

x 2 + 1 ≥ 0

Bora ver onde esse domínio este definido!

Passo 2

Resolvendo a nossa inequação, temos que

x 2 + 1 ≥ 0

Como tudo número ao quadrado é positivo, temos que o domínio será todos os Reais.

Agora precisamos achar os valores mínimos e máximo que o argumento pode tomar, para descobrir a imagem.

Passo 3

Lembra que no nosso argumento temos um x ao quadrado, ou seja, temos que o menor valor que o argumento poderá assumir será em x = 0 . Pois para x negativos teremos o mesmo resultado que o equivalemente positivo.

Calculando, temos que o menor valor que o argumento poderá ter será,

0 2 + 1 = 1

Opaaa, vamos jogar esse valor mínimo na função

f 0 = 0 2 + 1 + 1

f 0 = 1 + 1 = 2

Passo 4

Para achar o valor máximo, vamos olhar para o sinal do nosso argumento!

x 2 + 1

Como o número que acompanha o termo x 2 é positivo, temos que é uma parábola para cima. Ou seja, ela vai para infinito. Logo a nossa função também vai para infinito.

Ou seja, o conjunto imagem da nossa função será dado por 2 , ∞ .

Resposta

d