Exercícios Resolvidos de Introdução a Conjuntos

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Enunciado

Utilizando o resultado do exercício anterior mostre que para quaisquer x   e   y   e m   R n   tem-se

< x , y > ≤   | x | | y | (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

É válida a igualdade se, e somente se, um dos vetores x   o u   y é um múltiplo escalar do outro.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão Teórica de Cálculo. Essa questão é bem bacana!!!! Vamos resolvê-la

Nosso objetivo é mostrar < x , y > ≤   | x | | y | (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

Sabendo que z   =   x   −   α y é ortogonal a y onde α   = < x | y > / | y | 2 .

Passo 2

Bem, vamos começar manipulando a equação

0 ≤   <   x   −   α y , x   −   α y >

Usando a linearidade do produto interno

0 ≤   < x , x > - 2 α < x , y > + α 2 < y , y >

Fazendo α   = < x | y > / | y | 2

0 ≤   < x , x > - 2 ( < x , y > ) 2 / < y , y > + ( < x , y > ) 2 / < y , y >

então

0 ≤   < x , x > - ( < x , y > ) 2 / < y , y >

Mas isso só é verdade se

< x , x > < y , y >   ≥   ( < x , y > ) 2

tirando a raiz, concluímos que

< y ,   x > - α < y ,   y > = < y ,   x >   -   < x ,   y >

< x , y > ≤   | x | | y |

Ou seja, conseguimos demonstrar a desigualdade de Cauchy-Schwarz

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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