Exercícios Resolvidos de Introdução a Conjuntos

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Enunciado

Sobre três conjuntos A, B e C, sabe-se que n A ∩ B ∩ C = 4 , n A ∩ B = 6 , n A ∩ C = 7 , n B ∩ C = 14 , n A = 15 , n A ∪ B = 34 , n B ∪ C = 41 . Nestas condições, determinar:

  1. n B
  2. n C
  3. n A ∪ B ∪ C
  4. n A - B
  5. n C - A
  6. n ( A ∩ B - C )

Passo 1

Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?

Vamos desenhar um diagrama de Venn Euler aqui porque é tanta informação que se formos fazer de cabeça a gente pode se perder. Então qual é o macete nesse rolê aqui: vamos começar desenhando os valores das intersecções dos três conjuntos!!!

Depois pra conseguirmos o valor da intersecção entre DOIS conjuntos, a gente vai pegar o valor dado no enunciado e diminuir do valor da intersecção dos 3, certo?

CALMA E VEM COMIGO!

Passo 2

Vamos primeiro desenhar as intersecções.

Como eu fiz esse desenho? Bem, primeiro começamos com o valor da intersecção dos 3 conjuntos que são 4 elementos, certo? Depois pra calcular quanto tinha em cada intersecção de dois conjuntos eu simplesmente peguei o valor dado no enunciado e subtrai de 4 que é a intersecção dos 3 conjuntos.

Então por exemplo, pra saber quantos estão ali na intersecção de A e C, eu fiz:

n A ∩ C r e a l = n A ∩ C - n A ∩ B ∩ C

= 7 - 4

= 3

Passo 3

Agora vamos ver quanto tem de elementos exclusivos em cada conjunto. Para isso vamos pegar o valor de elementos dados no enunciado e subtrair da soma dos números das intersecções que esse conjunto tem.

No enunciado nos diz que o conjunto A tem 15 elementos, porém, 9 deles fazem parte de intersecções, logo, temos exclusivamente:

n A r e a l = 15 - 9 = 6

O enunciado também nos disse que:

n A ∪ B = 34

O enunciado nos diz que:

n A ∪ B = 34

n A + n B = 34

Portanto,

n B = 34 - 15 = 19

Mas sabemos que desses 19 em B, 16 estão na intersecção, portanto, exclusivamente em B temos

19 - 16 = 3

Fazendo agora analogamente pra C, temos do enunciado que:

n B ∪ C = 41

n B + n C = 41

n C = 41 - 19 = 22

Porém, temos 17 fazendo parte da intersecção, logo

n C r e a l = 5

Ao final, nosso diagrama fica:

Passo 4

Agora podemos concluir as questões do enunciado:

  1. n B = 3
  2. n C = 5
  3. n A ∪ B ∪ C = 5 + 3 + 6 = 14
  4. Para a letra (d) queremos quantos elementos exclusivamente temos em A

  5. n A - B = 6
  6. Na letra (e), queremos os valores exclusivos de C

  7. 𝑛𝐶𝐴=5
  8. Por fim, queremos exclusivamente os valores da união de A e B

  9. n A ∩ B - C = 2

Arrasamos e agora vamos pra próxima!!

Resposta

  1. n B = 3
  2. n C = 5
  3. n A ∪ B ∪ C = 5 + 3 + 6 = 14
  4. n A - B = 6
  5. 𝑛𝐶−𝐴=5
  6. n A ∩ B - C = 2