Exercícios Resolvidos de Introdução a Conjuntos

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Enunciado

10. O conjunto imagem da função f x = 6 x - x 2 4 é igual a

  1. 0 , 3
  2. 0,3
  3. 0,6
  4. - 3 , 3
  5. R

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós precisamos indicar o conjunto imagem, mas antes disso temos que ver qual o domínio da função!

O domínio são os valores que x pode assumir, então vamos olhar pra nossa função. Note que temos uma raiz par, ou seja, temos uma restrição: o argumento da raíz deve ser maior ou igual a zero. Ou seja,

6 x - x 2 ≥ 0

Bora ver onde esse domínio está definido!

Passo 2

Resolvendo a nossa inequação, temos que

6 x - x 2 ≥ 0

x 6 - x ≥ 0

Ou seja, para ela ser verdadeira, temos que:

x ≥ 0

E que:

6 - x ≥ 0

x ≤ 6

Ou seja, nosso domínio é 0,6 , mas precisamos achar a nossa imagem. Então vamos colocar esses valores extremos na equação.

Passo 3

Temos que

f x = 6 x - x 2 4

Para x = 0 ficamos com

f 0 = 6 0 - 0 2 4 = 0

Como sabemos que a nossa função é sempre positiva, então f 0 = 0 vai ser o nosso ponto mínimo.

Agora precisamos achar o valor máximo.

Passo 4

Para isso, temos que descobrir onde o nosso argumento atinge o valor máximo,. Então vamos olhar pra nossa equação. A gente tem a raiz quarta de uma função de segundo grau, ou seja, uma parábola. ou seja, valor médio entre 0 e 6 , pois nSendo que nosossa função quadradica é simétrica, então sua raiz quarta também vai ser... E seu ponto máximo será seu vértice!

Se as raízes da função quadrática são x = 0 e x = 6 , seu ponto máximo é o valor médio entre 0 e 6 . . Logo vamos fazer x = 3 ,

f 3 = 6 3 - 3 2 4 = 9 4 = 3 2 4 = 3

Ou seja, nosso conjunto imagem está em 0 , 3 .

Resposta

a