Exercícios Resolvidos de Introdução a Conjuntos

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Enunciado

Considere o conjunto

S = r ∈ Q   r ≥   0   e   r 2 ≤ 2   }

Sobre o qual são feitas as seguintes afirmações:

  1. 5 4 ∈ S   e 7 5 ∈ S
  2. x ∈ R     0 ≤ x ≤   2 }   ∩ S = 0
  3. 2 ∈ S

É(são) verdadeira(s) apenas:

  1. I
  2. II
  3. I e II
  4. I e III
  5. II e III

Passo 1

Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?

Uma das melhores maneiras de verificarmos essas questões de verdadeiro e falso é usarmos as próprias alternativas pra verificar se é verdade ou não. Então essa vai ser nossa estratégia, certo? Mas antes, vamos só ajustar uma coisinha bem feinha que tá ali no conjunto... aquele r 2 ≤ 2 !!!

Vamos mudar pra r ≤ 2 !!

Em outras palavras, a gente pode dizer que a variável r tem o intervalo dado por:

0 ≤ r ≤ 2

Passo 2

Como r pertence ao conjunto S, 2 PERTENCE a esse conjunto também, logo a opção III está correta.

Vamos ver as próximas!!!!

Passo 3

No item II ele tá dizendo que se x pertence aos reais, tal que x esteja entre 0 e raiz quadrada de 2, esse cara é intersecção de S e que isso é igual ao conjunto vazio!!!

O grande erro dessa alternativa está ao dizer que isso seria um conjunto vazio, porque a gente vê claramente que x está no mesmo intervalo que r , logo esses fazem interseção entre si, mas isso não implica em dizer que o conjunto é vazio. Logo, essa alternativa é FALSA.

Passo 4

Por fim, vamos olhar a alternativa (I)

Quanto vale 2 ?

Bem, de acordo com a calculadora aqui isso vale 1,414 aproximadamente. Então, o que a gente pode já observar é que 0 ≤ r ≤ 1,414 . Então se os valores que estão no item I estiverem dentro desse intervalo aí, vamos ter que ele é verdadeiro.

5 4 = 1,25

7 5 = 1,40

Opa, esses dois valores estão dentro do intervalo de r que pertence a S, logo, esses valores do item I também pertencem ao conjunto S!!!

Logo, (I) e (III) estão corretos e alternativa (D) seria a correta.

Resposta

( D )