Exercícios Resolvidos de Introdução a Conjuntos

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Enunciado

Verificar quais dos seguintes conjuntos são conexos

d )   Z = { x , y ∈ R 2   : y > 1 x ,   x ≠ 0 }

Passo 1

Faaaala pessoal, como vocês estão?

Então, nessa questão recebemos o seguinte conjunto:

Z = { x , y ∈ R 2   : y > 1 x ,   x ≠ 0 }

Ou seja, é um conjunto cujos pontos ( x , y ) são definidos pela inequação:

y > 1 x

Precisamos verificar se esse conjunto é conexo.

Um conjunto conexo é aquele que não pode ser separado em dois conjuntos abertos disjuntos, ou seja, que não tem intersecção. Isso significa que o conjunto não pode ser separado em pedações desconectados.

Pra verificarmos isso, tem um bizu muito legal. Vamos desenhar a região no plano R 2 e verificar se para quaisquer dois pontos escolhidos conseguimos traçar um caminho entre eles que esteja todo contido dentro da região. Se isso acontecer, o conjunto é conexo, beleza?

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, a nossa região é definida pela equação:

y > 1 x

Essa equação se divide em dois casos, primeiro temos:

y > 1 x ,     x > 0

E, depois para:

y > - 1 x ,     x < 0

Um ponto importante é que temos a restrição x ≠ 0 .

Juntando esses dois casos no plano, vamos ter a seguinte região:

Perfeito!

Passo 3

Agora que já desenhamos a região vamos usar aquele bizu do passo 1 pra determinar se ela é conexa ou não.

Será que existe algum par de pontos que não existe um caminho os ligando que pertença à região azul?

Simmm, se pegarmos um ponto em x < 0 e outro ponto em x > 0 , não existe um caminho que liga eles e esteja totalmente na região azul.

Isso porque o conjunto não contém o ponto x = 0 . Assim, temos dois pedaços separados.

Por isso, concluímos que a região não é conexa.

E aí, conseguiram pegar a ideia? Responde Aí!

Resposta

Não é conexa.