Exercícios Resolvidos de Introdução a Conjuntos

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Enunciado

Identificar as afirmações verdadeiras

c ) A união de bolas abertas é um conjunto conexo.

Passo 1

Ooi galera, tudo tranquilo por aí?

Nessa questão precisamos verificar se a afirmação:

“A união de bolas abertas é um conjunto conexo.”

é verdadeira ou falsa, beleza?

Pra começar, vocês lembram o que é um conjunto conexo?

Um conjunto conexo é aquele que não pode ser separado em dois conjuntos abertos disjuntos, ou seja, que não tem intersecção.

Por exemplo, o conjunto:

U = [ 3,5 ]

Conseguimos separá-lo em dois conjuntos abertos?! Poderíamos tentar fazer:

U = [ 3 , x   ∪   x , 5 ]

onde x ∈ [ 3,5 ] .

Mas, o problema de separar dessa forma é que o ponto x não estaria pertencendo a U . Logo, temos que esse é um exemplo de conjunto conexo.

Sacaram a ideia?

Então vamo nessa, verificar se ao unirmos bolas abertas temos um conjunto conexo ou não.

Passo 2

Bom, pra verificar essa afirmação vamos testar um exemplo. Se o exemplo mostrar que a afirmação é falsa, então ele se torna um contraexemplo e já matamos a questão haha.

Se o exemplo satisfizer a afirmação precisaremos pensar um pouco mais.

Queremos verificar a união de dois conjuntos abertos. Vamos chamar então:

U = [ 3,5 [

V = ] 5,6 ]

Unindo os dois conjuntos, temos:

U ∪ V = [ 3,5   ∪   5,6 ]

Beleza, unimos duas bolas abertas. A bola aberta que estava no ponto 5 nos dois conjuntos.

Será que essa união é um conjunto conexo?

Bom, da própria forma que escrevemos essa união vimos que podemos separá-la em dois conjuntos abertos e disjuntos.

Logo, como podemos separar dessa forma, não se trata de um conjunto conexo.

Portanto, a afirmação é falsa!

Resposta

Falsa.