Exercícios Resolvidos de Introdução a Conjuntos

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Enunciado

Com uma simples modificação no exercício anterior, mostre que a bola aberta B ( z ,   r ) é um

conjunto aberto para quaisquer   z   ∈   R n   e   r   >   0 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão Teórica de Cálculo. Essa questão é bem bacana!!!! Vamos resolvê-la

Nosso objetivo é mostrar que a bola aberta B ( z ,   r ) é um conjunto aberto para quaisquer   z   ∈   R n   e   r   >   0 .

Passo 2

O que é um conjunto aberto? Pela definição se A é um conjunto aberto então para todo a ∈ A   ∃   ϵ   |   B ( a , ϵ ) ∈   A

Isto é, podemos envolver os elementos de A por uma bolinha de forma que todo mundo dentro da bola é contido em A . Bacana né?

Bem, dessa forma. Vamos tomar um ponto z ' ∈ R n e supor que este ponto está dentro da bola aberta B ( z ,   r ) .

Agora, definimos o número d   =   m e n o r   d i s t â n c i a   d e   z '   a t é   o   b o r d o   d a   B o l a   B ( z ,   r ) .

Dessa forma, podemos construir a seguinte bola ao redor de z '

B ( z ' , d / 2 )

Fazendo isso podemos garantir que

B ( z ' , d / 2 ) ⊂ B ( z ,   r )

Pois pela definição de d sabemos a distância até o bordo da bola B ( z ,   r ) , e pegando um valor menor garantimos que todo mundo está contido.

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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