Exercícios Resolvidos de Introdução a Conjuntos

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Enunciado

13. O conjunto imagem da função f x = log 2 ⁡ 4 - x 2 é igual a

  1. - ∞ , 1
  2. 0,2
  3. - ∞ , 0
  4. - ∞ , 2
  5. - 2,2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós precisamos indicar o conjunto imagem, mas antes disso temos que ver qual o domínio da função!

Note que temos uma função logarimica, ou seja, temos uma restrição: o argumento do log deve ser maior que zero. Ou seja,

4 - x 2 > 0

Bora ver onde esse domínio este definido!

Passo 2

Resolvendo a nossa inequação, temos que

4 - x 2 > 0

Ou seja, para ela ser verdadeira, temos que

- 2 < x < 2

Ou seja, nosso domínio é - 2,2 , mas precisamos achar a nossa imagem. Então vamos colocar esses valores extremos na equação.

Passo 3

Temos que

f x = log 2 ⁡ 4 - x 2

Para x = 2 ficamos com

f 2 = log 2 ⁡ 4 - 2 2 = log 2 ⁡ 0

Como logaritmo de zero não existe, temos que que essa função vai para - ∞ .

Agora vamos para o valor máximo!

Passo 4

Para isso, temos que que descobrir onde o nosso argumento atinge o valor máximo, ou seja, valor médio entre - 2 e 2 , pois nossa função quadradica é simétrica. Logo vamos fazer x = 0 ,

f 0 = log 2 ⁡ 4 - 0 2 = log 2 ⁡ 4 = 2

Ou seja, nosso conjunto imagem está em - ∞ , 2

Resposta

d