Exercícios Resolvidos de Introdução a Conjuntos

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Enunciado

  1. Qual dos conjuntos abaixo é o domínio de f x = x 2 - 1 x 2 - 3 x + 2 ?
  1. [ - 1,2 )
  2.   ( - ∞ , - 1 ]   ∪ ( 2 , ∞ )  
  3. - 1,2
  4. - ∞ , - 1 ∪ 2 , ∞
  5. [ - 1 , 1 ]   ∪ ( 1,2 )  

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos achar o domínio da função e para isso temos que lembrar qual a restrição das funções quadradicas e frações.

Para quem não lembra, as restrições são:

- o argumento de toda raiz par deve ser maior ou igual a zero.

- o denominador não pode ser zero.

Em outras palavras, temos que

x 2 - 1 x 2 - 3 x + 2 ≥ 0

E

x 2 - 3 x + 2 ≠ 0

Agora vamos analisar quais valores possíveis de x .

Passo 2

Galerinha, vamos começar pela restrição da fração,

x 2 - 3 x + 2 ≠ 0

Ou seja, para saber o nosso domínio, vamos encontrar quais pontos que x não pode ser. Para isso, temos que resolver a seguinte equação de segundo grau,

x 2 - 3 x + 2 = 0

Aplicando Bhaskara, ficamos com

x = + 3 ± - 3 2 - 4 1 2 2 1

x = + 3 ± 1 2 = 3 ± 1 2

Logo,

x 1 = 2

x 2 = 1

Ou seja, o domínio não está definido em x = 1 e x = 2 .

Agora vamos para a nossa próxima restrição!

Passo 3

Vamos analisar,

x 2 - 1 x 2 - 3 x + 2 ≥ 0

Para descobrirmos qual intervalo que essa divisão será positiva, temos que analisar as partes (numerador e denominador) em separado e depois fazer um estudo do sinal.

Começando por,

x 2 - 1 = 0

x = ± 1

Como, temos que a > 0 , a nossa parábola é para cima. Logo, x < 0 entre - 1 e + 1 .

Para a parte,

x 2 - 3 x + 2 = 0

Já vimos que as raízes são 1 e 2 . E como a > 0 , aqui a parábola também é para cima. Logo, x < 0 entre 1 e 2 .

Vamos organizar os dados!

Passo 4

Organizando os dados numa tabela, temos a seguinte analise de sinal

Jutando os dados,

Ou seja, a função é negativa entre - 1 e + 2 . Logo ela não pode existir nesse intervalo.

Deste modo, o domínio da função será ( - ∞ , - 1 ]   ∪ ( 2 , ∞ ) . Lembrando que ela pode existir em - 1 , mas não pode existir em 2 (restrição do Passo 2).

Resposta

b