Exercícios Resolvidos de Introdução a Conjuntos

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Enunciado

Identificar as afirmações verdadeiras

O conjunto

V = { x , y   :   x 2 > y 2 }

é conexo.

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bem?

Nessa questão precisamos avaliar se o conjunto:

V = x , y   :   x 2 > y 2

é, ou não, um conjunto conexo.

Pra começar, vocês lembram o que é um conjunto conexo?

Um conjunto conexo é aquele que não pode ser separado em dois conjuntos abertos disjuntos, ou seja, que não tem intersecção.

Por exemplo, o conjunto:

U = [ 3,5 ]

Conseguimos separá-lo em dois conjuntos abertos?! Poderíamos tentar fazer:

U = [ 3 , x   ∪   x , 5 ]

onde x ∈ [ 3,5 ] .

Tem um jeito bem bizurado de verificar se um conjunto é conexo ou não. Após desenhar a sua representação no espaço, verificamos se para quaisquer dois pontos escolhidos nessa região é possível traçar um caminho que pertença totalmente à região.

Então, vamos primeiro desenhar o conjunto V para depois analisar o caminho.

Passo 2

Bom, temos que o conjunto é definido pela equação:

x 2 > y 2

Assim, vem:

y < ±   x

Ou seja, temos a região limitada pelas retas:

y = ±   x

Massa!

Passo 3

Agora vamos pensar se conseguimos traçar um caminho entre quaisquer dois pontos.

Se tomarmos um ponto acima do eixo x e outro abaixo do eixo x , ficamos numa situação meio complicada galera.

Como o ponto ( 0,0 ) não pertence a esse conjunto, não conseguimos traçar um caminho que ligue os dois pontos e ainda esteja dentro da nossa região.

Portanto, o conjunto V é desconexo.

Prontinho, tchau tchau 😊

Resposta

Falso.